Hodge polynomials of character varieties

Resumen

La tesis Polinomios de Hodge de variedades de caracteres se dedica al estudio de una clase de invariantes algebraicos llamados polinomios de Hodge o Epolinomios, que pueden asociarse a cualquier variedad quasiproyectiva X. Son de naturaleza cohomológica y contienen información topológica, geométrica y aritmética. La tesis aborda el análisis de estos polinomios para un tipo particular de variedades algebraicas llamadas variedades de caracteres, que ocupan un lugar destacado en muchas ramas de la matemática: aparecen en dinámica, teoría de representaciones, geometría algebraica y diferencial. Dado un grupo finitamente presentado F y un grupo algebraico reductivo G, las variedades de caracteres se definen como el espacio de móduli de las representaciones de F en G, donde se cocienta por la acción de G por conjugación y donde se utiliza la Teoría de Invariantes Geométricos en la construcción del móduli. Un caso de particular relevancia es cuando F es el grupo fundamental de una curva lisa proyectiva X. Dos resultados importantes en geometría algebraica y diferencial son la correspondencia de Riemann HIlbert, que proporciona un isomorfismo entre la variedad de caracteres y el espacio de moduli de conexiones planas, y el Teorema de Donaldson Corlette, que establece un homeomorfismo de éste último con el espacio de móduli de Gfibrados de Higgs. Los trabajos de Hitchin, Gothen y muchos otros matemáticos han permitido estudiar la topología de estos espacios, pero sus estructuras complejas difieren y lo hacen por tanto también sus estructuras de Hodge mixtas. Introducidas por Deligne, éstas proporcionan una generalización para variedades algebraicas de la descomposición de Hodge presente en la cohomología de una variedad Kahler. Con motivaciones provenientes de la Mirror Symmetry, la tesis se centra en el estudio de los polinomios de Hodge, construidos con números de Hodge mixtos, de las variedades de caracteres asociadas a curvas de género g. La tesis desarrolla un estudio detallado del comportamiento de los polinomios de Hodge para fibraciones que son localmente triviales en la topología analítica. La pieza clave es la llamada representación de la monodromía de Hodge, que codifica como los polinomios de Hodge dependen de los autovalores de la holonomía alrededor de un punto fijado en X. El resultado central de la tesis son fórmulas cerradas y explícitas para el cálculo de los Epolinomios de las variedades de caracteres con un agujero y monodromía arbitraria alrededor de él, para cualquier género y para el grupo especial lineal de grado 2. Se derivan en la tesis numerosos corolarios y resultados a partir de ellos. Por un lado se obtiene información de tipo topológico, como el cálculo de las características de Euler y número de componentes de estos espacios. Por otro, se obtienen resultados de interés en teoría de Hodge, como el hecho de que la estructura en la cohomología de las variedades de caracteres sea de tipo Hodge Tate o equilibrada. Además, las técnicas desarrolladas permiten resolver otros problemas complementarios y de interés: el caso de superficies no orientables y género bajo y su relación con el caso orientable, y la descripción geométrica de las variedades de caracteres asociadas a nudos tóricos, para el grupo especial lineal y el grupo unitario de grado 2.