Estudio cualitativo de algunos sistemas dinámicos discretos

Abstract

La teoría de sistemas dinámicos es una importante rama de las Matemáticas introducida por Newton alrededor de 1665. La dinámica caótica surge del estudio de sistemas complejos y está presente en muchos fenómenos naturales, como sistemas ecológicos, económicos y biológicos. Estos sistemas tienen la particularidad de ser extremadamente sensibles a las condiciones iniciales y poseen atractores conocidos como atractores extraños. Pueden dividirse en dos tipos principales: sistemas de tiempo continuo y sistemas de tiempo discreto. En nuestro trabajo, nos centraremos en los sistemas dinámicos no lineales discretos. Para comenzar a estudiar sistemas dinámicos no lineales, primero es necesario comprender cómo funcionan los sistemas lineales. Son muchos los libros Elaydi (2007, 2005), Grove and Ladas (2004), Holmgren (2000), Nayfeh and Balachandran (2008), Wiggins (2003), Zhang (2006),que proporcionan un tratamiento completo de la teoría lineal. La existencia y unicidad de soluciones, el comportamiento de los puntos de equilibrio basado en el análisis de los valores propios y la extensión de los sistemas lineales a R a través de la estructura del Álgebra Lineal y la exponenciación de matrices son resultados fundamentales de la teoría lineal. El estudio de la teoría lineal se debe a que los sistemas no lineales se comportan de manera idéntica a los sistemas lineales localmente, en las proximidades de los puntos de equilibrio y bajo condiciones específicas. Al examinar el sistema lineal equivalente en los puntos de equilibrio, generalmente podemos caracterizar el comportamiento cualitativo de un sistema no lineal, ya que determinar soluciones explícitas para sistemas no lineales suele ser extremadamente difícil o imposible. El análisis cualitativo de sistemas dinámicos desempeña un papel crucial en la comprensión del comportamiento del sistema sin resolver explícitamente sus ecuaciones. Ayuda a identificar características importantes, predecir resultados a largo plazo y estudiar la estabilidad, las bifurcaciones y el caos. Recientemente, muchos investigadores han analizado la dinámica de modelos continuos convirtiéndolos en modelos discretos y estudiando su comportamiento. Este enfoque es el empleado en las referencias Ali et al. (2019), Berkal and Almatrafi (2023), Berkal and Navarro (2021), Din (2018b), Elsadany and Matouk (2015), Gurcan et al. (2019), Khan et al. (2022, 2023), Kartal and Gurcan (2019); Liu and Li (2021), y varios análisis muestran que los sistemas de tiempo discreto exhiben comportamientos dinámicos mucho más interesantes, como bifurcaciones y caos, en comparación con los sistemas originales en tiempo continuo. Al considerar individuos discretos y contables en lugar de asumir poblaciones continuas, los modelos discretos permiten una descripción más precisa de la dinámica de la población. Los sistemas dinámicos discretos se utilizan ampliamente en diversos campos, incluyendo Matemáticas, Física, Biología, Economía, Ciencias de la Computación e Ingeniería. Pueden modelar una amplia gama de fenómenos, como las reacciones químicas Din (2022), Din and Haider (2020), Din (2018a), sistemas económicos Din et al. (2021), filtros digitales, sistemas de control y dinámica de poblaciones Ahmed et al. (2023), AL-Kaff et al. (2022). Por ejemplo, Leslie (1948, 1958) ha desarrollado un sistema dinámico de depredador-presa en el cual la capacidad de carga de la población de depredadores es proporcional a la densidad de la población de presas. Pal et al. (2019) han estudiado el modelo clásico de depredador-presa para investigar la dinámica de la depredación cuando las poblaciones de presas son asustadas por los depredadores, cuando éstos cooperan en la caza. Sen et al. (2012) han discutido ecuaciones de depredador-presa con un efecto Allee fuerte y un efecto Allee débil. Además, comparan algunas propiedades dinámicas del sistema considerado con y sin el efecto Allee, observando una diferencia considerable en la dinámica de estos modelos. El mismo sistema también ha sido investigado en Cheng and Cao (2016) por Cheng y Cao, quienes encontraron que las poblaciones de depredadores y presas no pueden coexistir si la tasa de crecimiento del depredador es menor que su tasa de mortalidad. Sin embargo, si la tasa de crecimiento del depredador supera la tasa de muerte, el modelo tiene dos puntos fijos interiores. Vinoth et al. (2021) investigaron la influencia del miedo y el efecto Allee en la existencia de puntos fijos positivos de un sistema de depredador-presa dependiente de la proporción de Leslie-Gower. Los autores también utilizaron la matriz Jacobiana para examinar la atracción local de todos los puntos de equilibrio positivos. Kumar y Kharbanda (2019) han estudiado el comportamiento caótico del modelo presa-predador, introduciendo la defensa grupal y la cosecha en las especies de presa. Zhou et al. (2019) han analizado el comportamiento local de los puntos fijos y probado la existencia de una bifurcación en Hopf de un modelo dinámico de depredador-presa con respuesta funcional tipo Holling-II. En Akhtar et al. (2021), los autores han introducido esquemas en diferencias finitas para obtener las soluciones de un sistema presa-depredador de Leslie en tiempo continuo y analizar la bifurcación de Neimark-Sacker del modelo considerado. Moustafa et al. (2020) han formulado y discutido un modelo eco-epidemiológico de orden fraccionario con enfermedad en la presa. Arif et al. (2023) han estudiado un sistema de orden fraccionario que describe poblaciones de depredadores y dos tipos de presas utilizando la derivada fraccionaria de Caputo. Además, Din (2017) ha discutido un sistema presa-depredador de Leslie-Gower en tiempo discreto, probando la existencia y unicidad de los puntos fijos. En Din and Saeed (2017), los autores han examinado el comportamiento dinámico de un sistema huésped-parásito con un efecto Allee fuerte. En particular, han estudiado la estabilidad asintótica local y la bifurcación de Neimark-Sacker del modelo discretizado. Asimismo, Khan et al. (2016) han considerado un sistema planta-herbívoro en tiempo discreto estudiando la bifurcación de Neimark-Sacker, la existencia de curvas cerradas invariantes y llevando a cabo simulaciones numéricas del modelo propuesto. Analizar sistemas dinámicos discretos implica estudiar el comportamiento del sistema a lo largo del tiempo, identificar puntos de equilibrio o estados estacionarios donde el sistema permanece inalterado, e investigar la estabilidad y la sensibilidad del sistema a condiciones iniciales y valores de parámetros. A menudo se emplean técnicas como simulaciones numéricas para analizar y comprender la dinámica de los sistemas dinámicos discretos. En vista de las motivaciones mencionadas, en esta tesis tenemos la intención de explorar y estudiar los comportamientos dinámicos de sistemas de tiempo discreto. Los sistemas propuestos se definen utilizando diferentes métodos (esquema de diferencia finita no estándar, método de argumentos de constante por partes, método de Euler, ...) y estudiamos la dinámica de estos modelos tanto de manera analítica como numérica. En este estudio, investigamos el comportamiento cualitativo de varios modelos dinámicos de derivadas fraccionarias. Hemos observado que el sistema discreto muestra comportamientos dinámicos mucho más ricos, como bifurcaciones y caos, en comparación con su contraparte de sistema continuo, por lo que primero discretizamos el modelo estudiado. Después, analizamos la estabilidad y las bifurcaciones cerca de los equilibrios del modelo discretizado. Los resultados demuestran que los comportamientos dinámicos del modelo discretizado son sensibles al parámetro de orden fraccional y al parámetro de discretización, entre a otros parámetros. Finalmente, realizamos simulaciones numéricas para explicar y validar nuestros hallazgos teóricos. Además, calculamos los exponentes máximos de Lyapunov para confirmar la presencia de comportamiento caótico en los modelos discretos estudiados. Publicaciones: [1] Messaoud Berkal, Juan F. Navarro, Qualitative behavior of a two-dimensional discretetime predator-prey model, Comput. Math. Methods, 3(6): e1193, 2021. https://doi.org/10.1002/cmm4.1193. [2] Messaoud Berkal, Juan F. Navarro, Qualitative study of a second-order difference equation, Turk. J. Math., 47(2): 516-527, 2023. https://doi.org/10.55730/1300-0098.3375. [3] Messaoud Berkal, Juan F. Navarro, M. B. Almatrafi, Qualitative behavior for a discretized conformable fractional-order Lotka-Volterra model with harvesting effects, Int. J. Anal. Appl., 22: 51, 2024. https://doi.org/10.28924/2291-8639-22-2024-51. [4] Messaoud Berkal, Juan F. Navarro, R. Abo-Zeid, Global behavior of solutions to a higher-dimensional system of difference equations with Lucas numbers coefficients, Math. Comput. Appl., 29(2): 28, 2024. https://doi.org/10.3390/mca29020028. [5] Messaoud Berkal, Juan F. Navarro, M. B. Almatrafi, M. Y. Hamada, Qualitative behavior of a two-dimensional discrete-time plant-herbivore model, Commun. Math. Biol. Neurosci., 2024: Article ID 44, 2024. https://doi.org/10.28919/cmbn/8478. [6] Messaoud Berkal, Juan F. Navarro, Qualitative behavior of a chemical reaction system with fractional derivatives, Rocky Mt. J. Math., aceptado. [7] Messaoud Berkal, Juan F. Navarro, Dynamics of a discrete-time predator-prey system with ratio- dependent functional response, Miskolc Math. Notes, aceptado. [8] Messaoud Berkal, Juan F. Navarro, M. Y. Hamada, B. Semmar, Qualitative behavior for a discretized conformable fractional-order predator-prey model, Filomat, en revision.