Soluciones numéricas exactas y esquemas en diferencias finitas no estándar para ecuaciones diferenciales con retardo

Resumen

Esta tesis se enmarca en una de las líneas del grupo de investigación de la Universidad de Alicante "Ecuaciones Diferenciales con Retardo", actualmente integrado dentro del grupo "Modelización de Procesos en Biogeociencias y Ecuaciones Diferenciales con Retardo". En trabajos previos del grupo se habían obtenido esquemas numéricos exactos y, a partir de ellos, se habían propuesto esquemas en diferencias finitas no estándar para distintos tipos de ecuaciones diferenciales con retardo lineales. Inicialmente se consideraron ecuaciones escalares de tipo retardado de primer orden y los resultados fueron posteriormente extendidos al caso de sistemas acoplados del mismo tipo con coeficientes matriciales que conmutan y, de forma parcial, a sistemas con retardo lineales de primer orden generales, sin condiciones de conmutación en sus coeficientes. En esta tesis se avanza en la construcción de esquemas numéricos exactos y no estándar para ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales con retardo más generales, incluyendo ecuaciones de segundo orden y ecuaciones de tipo neutral, basándose en los resultados obtenidos previamente. En el Capítulo 1 se presenta una breve introducción general al tema objeto de la tesis y a los resultados previamente conocidos sobre la obtención de esquemas numéricos exactos y no estándar para problemas con retardo. En el Capítulo 2, basándose en la forma de los esquemas numéricos exactos obtenidos en trabajos anteriores para ecuaciones y sistemas con retardo, derivados a partir de expresiones explícitas para las soluciones exactas, se plantea la posibilidad de construir directamente nuevos esquemas sin el conocimiento previo de la solución exacta del problema. Este nuevo enfoque se aplica a la ecuación lineal general de primer orden de tipo neutral, obteniéndose por primera vez un esquema numérico exacto para este tipo de ecuaciones. En el Capítulo 3 se considera la extensión de los resultados del Capítulo 2 a ciertos tipos particulares de sistemas de tipo neutral, presentando algunos ejemplos de aplicación. En el Capítulo 4, basándose en los resultados previamente desarrollados para sistemas generales de ecuaciones con retardo de primer orden, se obtienen por primera vez esquemas exactos para ecuaciones con retardo de segundo orden. A partir de ellos se propone una familia de esquemas en diferencias finitas no estándar para estos problemas con orden de convergencia tan alto como sea preciso y manteniendo las propiedades dinámicas de estabilidad dependiente del retardo del sistema. En el capítulo final de Conclusiones se resumen los resultados principales de la tesis y se plantean posibles desarrollos para futuras investigaciones.