Dinámica del flujo horocíclico para foliaciones hiperbólicas transversalmente homogéneas

Resumo

En esta tesis estudiamos la dinámica del flujo horocíclico en foliaciones transversalmente homogéneas, centrándonos en dos tipos: las foliaciones transversalmente de Lie y las suspensiones de representaciones lineales de grupos fuchsianos. La minimalidad del flujo horocíclico es conocida en foliaciones de Lie homogéneas bajo las hipótesis naturales de minimalidad de la foliación y compacidad de la variedad ambiente. Para extender este resultado al caso no homogéneo, usamos la casi-acción para construir el círculo universal en el sentido de Thurston a una foliación de Lie. El círculo universal nos permite probar la minimalidad del flujo horocíclico en foliaciones de Lie no homogéneas bajo la hipótesis adicional de la no trivialidad de las hojas de la foliación. En el caso de suspensiones de representaciones lineales, nos interesamos por la existencia y unicidad de conjuntos minimales de la acción afín y del flujo horocíclico, independientemente de la compacidad de la variedad ambiente. Estudiamos varios casos particulares, en función de las características de la representación, que nos permite obtener resultados generales sobre existencia y unicidad de minimales bajo ciertas condiciones de irreducibilidad fuerte y proximalidad de la representación.