Sobre los ceros de polinomios de Dirichlet, en general, y los de las sumas parciales de la función zeta de Riemann, en particular

Resumen

En el primer capítulo se introduce la función $H_{n}(z)=1+2^{iz}+3^{iz}+...+n^{iz}$ como aproximación de la función zeta de Riemann y se pondrá de relieve una de sus principales propiedades, que es la de ser una función entera de tipo exponencial de clase C. Se presenta, utilizando la noción de distribución de Levinson, una demostración de la densidad de ceros de este tipo de funciones distinta a la obtenida por los autores de [41]. Se dará también, con la condición de existencia de ceros sobre el eje imaginario, una fórmula sobre la distribución de dichos ceros. Después, se presentan algunos resultados sobre el número de ceros dentro de rectángulos de aproximaciones de la función zeta de Riemann y se expone cómo el uso de la función $H_{n}(z)$ permite obtener una fórmula precisa del número de ceros dentro de ciertos rectángulos. En el segundo capítulo se demuestra que para unas ciertas aproximaciones de la zeta de Riemann, es decir, las sumas parciales, hay densidad de las partes reales de sus ceros simples dentro de intervalos incluidos en sus bandas críticas. Los resultados de este capítulo aparecen en [14]. En el tercer capítulo se propone, utilizando aritmética y funciones completamente multiplicativas, un método para transportar una propiedad topológica de ceros de ciertos polinomios exponenciales, llamados polinomios de Dirichlet. Se utiliza el teorema de equivalencia de Bohr, muy conocido para las series de Dirichlet. Se demuestra que se puede aplicar este resultado a los polinomios de Dirichlet, lo cual nos da un método explícito para construir polinomios obteniendo la propiedad requerida y formando, al mismo tiempo, clases de equivalencia. En el cuarto capítulo, después de haber introducido el tema de las cuerdas fractales no reticulares, se demuestran conjeturas expuestas por Michel Lapidus y Machiel van Frankenhuysen en [30], relacionadas con la densidad de las partes reales de ceros de polinomios de Dirichlet asociados a dichas cuerdas. Se puede encontrar estos resultados en [13]. En el último capítulo se exponen algunos resultados sobre la relación entre los polinomios de Dirichlet y las ecuaciones en diferencias de tipo neutro. Demostramos un resultado de inestabilidad para dichas ecuaciones y, utilizando el resultado anterior, se propone la creación de clases de equivalencias de ecuaciones en diferencias inestables. Al final de cada capítulo, se presentan algunos temas abiertos que podrían ser desarrollados en el futuro. In the first one we introduce the function $H_{n}(z)=1+2^{iz}+3^{iz}+...+n^{iz}$ as an approximation of the Riemann's zeta function and we focus on one of its most important properties, which is to be an entire function of exponential type of $\mathcal{C}$ class. We present, using the Levinson's notion of distribution, a demonstration of the density of the zeros of such functions. This proof is different to the authors one (see [41]). We also give a formula of the distribution of zeros on the imaginary axis (if they exist). Then, we show some results on the number of zeros in rectangles of approximations of the Riemann's zeta function and we will show how the use of the function $H_{n}(z)$ gives us a precise formula on the number of zeros in some specific rectangles. In the second chapter we prove that for some particular approximations of the Riemann's zeta functions, i. e., the partial sums, there is density in the real parts of its simple zeros in some intervals of their respective critical strips. The results of this chapter can be found in [14]. In the third chapter, using arithmetic and completely multiplicative functions, we offer a method to carry a topological property of the zeros of some exponential polynomials named Dirichlet polynomials. We use the Bohr-equivalence theorem which is usually used for Dirichlet series. We show that we can use it for Dirichlet poynomials too and we obtain an explicit method to construct polynomials with the desired property. In the fourth chapter we introduce the notion of nonlattice fractal strings and then we prove the conjetures of Michel Lapidus and Machiel van Frankenhuysen (see [30]), which have a relation with the density of the real parts of the zeros of Dirichlet polynomials associated to such strings. These results appear in [13]. In the last chapter we present some results on the relation between Dirichlet polynomials and differential equations in differences of neutral type. We prove a result on unstability for such equations and using the previous result we will create some equivalent classes of differential equations with unstability. At the end of each chapter, we present some open problems which could be further developed in future research