Desigualdades de tipo Brunn-Minkowski y raíces de polinomios geométricos= From Brunn-Minkowski type inequalities to roots of geometric polynomials

Résumé

Resumen Español: La Tesis Doctoral está dedicada, por un lado, al estudio de desigualdades de tipo Brunn-Minkowski, especialmente cuando se trabaja con hipótesis sobre proyecciones/secciones, y, por otro lado, al estudio de las raíces de polinomios geométricos que surgen de una generalización del denominado funcional de Wills. En medio, nos encontraríamos las salchichas, las cuales resultan ser, salvo cuerpos convexos degenerados, la familia de los 'conjuntos extremales' en relación a algunas mejoras lineales de desigualdades tales como la desigualdad de Brunn-Minkowski o la primera desigualdad de Minkowski (y por tanto también de las desigualdades isoperimétrica y de Uryshon). Además esta familia de cuerpos convexos está ampliamente relacionada con algunos problemas relativos al polinomio de Steiner. Comenzamos estableciendo las nociones básicas que se necesitarán en un desarrollo posterior. A continuación, estudiamos mejoras de la desigualdad de Brunn-Minkowski, en el sentido de 'refinar' el exponente 1/n, cuando se asume que los cuerpos comparten una proyección común sobre un (n-k)-plano, por un lado, y para familias de cuerpos particulares, por el otro. En el tercer capítulo, abordamos el caso de igualdad en la versión lineal de la desigualdad de Brunn-Minkowski; nuestro enfoque subyace en (el estudio de) una posible caracterización de la linealidad del volumen a través de salchichas. En el último capítulo, investigamos las raíces de una familia de polinomios geométricos de cuerpos convexos asociados a una medida dada en la semirrecta real no-negativa, que surgen de una generalización natural del funcional de Wills. Resumen Inglés: The Doctoral Dissertation is devoted, on the one hand, to the study of Brunn-Minkowski's type inequalities, especially when working with projections/sections assumptions, and, on the other hand, to the study of the roots of geometric polynomials which arise from a generalization of the so-called Wills functional. In the middle, we would find sausages, which turn out to be, up to degenerated convex bodies, the family of 'extremal sets' in relation to some linear improvements of inequalities such as Brunn-Minkowski's inequality or Minkowski's first inequality (and thus also the isoperimetric and Urysohn's inequalities). Furthermore, this family of convex bodies is strongly connected to some problems relative to the Steiner polynomial. We start establishing the basic notions that will be needed further on. Next, we study refinements of the Brunn-Minkowski inequality, in the sense of 'enhancing' the exponent 1/n, when assuming that the bodies share a common projection onto an (n-k)-plane on the one hand, and for particular families of bodies on the other hand. In the third chapter, we deal with the equality case in the linear version of Brunn-Minkowski's inequality; our approach relies on (the study of) a possible characterization of the linearity of the volume through sausages. In the last chapter, we investigate the roots of a family of geometric polynomials of convex bodies associated to a given measure on the non-negative real line, which arise from a natural generalization of the Wills functional.