Sobre la definición y construcción sistemática de variables canónicas de tipo focal. Aplicación a sistemas keplerianos perturbados

Resumen

El término ``regularización¿¿ se utiliza para referirse a la eliminación de singularidades presentes en las ecuaciones diferenciales (que, para los propósitos de esta Memoria, se considerarán como las ecuaciones que gobiernan el movimiento de ciertos sistemas mecánicos). Se trata, pues, de transformar ecuaciones diferenciales singulares en ecuaciones regulares (es decir, de obtener ecuaciones diferenciales exentas de singularidades). Por regla general, los métodos de regularización de las ecuaciones de movimiento suelen combinar el uso de transformaciones de variables (tanto de la variable independiente que parametriza las soluciones como de las variables dependientes o funciones incógnita del problema en cuestión) con el recurso adicional a integrales primeras (y, en su caso, incluso a ligaduras geométricas y dinámicas) del sistema diferencial objeto de estudio. En ocasiones, como resultado del propio proceso de regularización de las ecuaciones, se llega a obtener también la ``linealización¿¿ de las mismas: las ecuaciones de partida , tras las transformaciones y manipulaciones llevadas a cabo, se convierten en ecuaciones diferenciales lineales que-en la situación más favorable- son además de coeficientes constantes (y, por consiguiente, libres de singularidades y fácilmente resolubles). De entre este tipo de ecuaciones diferenciales cabe destacar aquéllas que describen el comportamiento de osciladores lineales. A menudo el número de grados de libertad de un sistema mecánico dado tiene que aumentarse de una manera artificial para llegar a obtener variables dependientes regulares, por lo que tales variables regulares verifican alguna relación de redundancia. Es decir, la construcción de sistemas de variables regulares suele involucrar un aumento del número de variables dependientes implicadas. De ahí el interés y la importancia de las transformaciones que aumentan el número de variables dependientes, y por lo tanto operan entre dominios de espacios de distinta dimensión, y -en particular- la necesidad de darles un tratamiento apropiado y riguroso en el marco de las teorías canónicas y hamiltonianas de la Mecánica Analítica y Celeste, por medio de extensiones adecuadas de transformaciones puntuales que incrementan el número de coordenadas. En esta Memoria se propone una deducción general y sistemática de variables canónicas redundantes de tipo focal en el marco de un esquema unificado, y su posterior aplicación para la reducción de sistemas keplerianos perturbados a osciladores perturbados, lo que a su vez permitirá identificar y caracterizar la clase de potenciales perturbadores compatibles con una linealización exacta del correspondiente sistema perturbado en variables focales. Con este propósito, se considera una nueva familia de transformaciones canónicas (en el sentido pleno del término) que generalice anteriores extensiones (canónicas o débilmente canónicas, debidas a otros autores) de la transformación puntual de coordenadas denominada `` factorización (o descomposición) proyectiva del vector de posición de una partícula en el espacio tridimensional ordinario¿¿. Dicha transformación puntual (que es de rango máximo y aumenta la dimensión del espacio de coordenadas en una unidad) permite introducir el conjunto redundante de las (cuatro) variables focales de posición de la partícula, a partir de las tres coordenadas cartesianas de la misma; las cuatro coordenadas en cuestión son, en cada instante, la distancia de la partícula al origen de coordenadas y las tres componentes del vector unitario en la dirección de la partícula móvil (o, lo que es lo mismo, los cosenos directores del vector de posición en cada instante). El conjunto de estas cuatro variables, que localizan y caracterizan en cada instante la posición de la partícula en el espacio, puede interpretarse como las coordenadas (cartesianas) homogéneas proyectivas del móvil. Se trata, pues, de extender esta transformación (puntual) de coordenadas (entre espacios de configuración de dimensiones distintas) hasta una transformación canónica, para construir conjuntos redundantes de (ocho) variables canónicas de tipo focal; con tal fin, resulta necesario completar el cambio de coordenadas mediante los correspondientes momentos canónicos conjugados asociados a estas variables de posición. La generalización propuesta se consigue a través de una familia de transformaciones que depende de dos parámetros numéricos y de una función arbitraria (suficientemente regular) de las nuevas coordenadas focales. En todos los casos, las transformaciones así obtenidas son canónicas en el sentido pleno, genuino y convencional del término (operan entre espacios de fases de la misma dimensión, y las condiciones de canonicidad pueden comprobarse siguiendo los procedimientos habituales en Mecánica, como por ejemplo los que utilizan paréntesis de Poisson), y -aplicadas a sistemas keplerianos tridimensionales, y tras reemplazar la distancia radial por una nueva variable dependiente proporcional al recíproco de dicha distancia- consiguen los objetivos de regularización y linealización de las ecuaciones diferenciales del movimiento que gobiernan el problema espacial de Kepler (tomando como variable independiente un tiempo ficticio que es igual o proporcional a la anomalía verdadera del movimiento kepleriano). Las ecuaciones lineales con coeficientes constantes que resultan tras esta sucesión de manipulaciones describen un sistema de cuatro osciladores armónicos desacoplados, con el centro de oscilación situado precisamente en el centro de atracción gravitatoria, el cual, a su vez, coincide con un foco de las cónicas solución del problema gravitatorio de dos cuerpos y sirve como origen del sistema de coordenadas utilizado para describir el movimiento orbital de una partícula en el espacio bajo la influencia de otro cuerpo (llamado ``primario¿¿) o en el seno de un campo de fuerzas. Desde un punto de vista más formal y teórico, y como herramienta fundamental para la justificación del procedimiento y de algunas de las consideraciones que se mencionan en los párrafos anteriores, se formula y demuestra un teorema de carácter general, que constituye una reelaboración y generalización de un teorema de Ferrándiz y Sansaturio (publicado en 1994) y de resultados de Deprit, Elipe y Ferrer (también de 1994) sobre canonicidad de extensiones de transformaciones puntuales que introducen coordenadas redundantes (en número arbitrario) en el espacio de configuración y, por lo tanto, aumentan el número de variables, obteniéndose transformaciones canónicas (en el sentido pleno de la palabra) en el correspondiente espacio de fases con dimensión aumentada. La demostración del teorema que se establece en esta Memoria se efectúa en el lenguaje de formas diferenciales (de grados 0, 1 y 2). La generalidad del planteamiento adoptado en esta Memoria (la transformación considerada introduce variables canónicas genéricas ¿no especificadas- de tipo focal) permite incorporar las transformaciones desarrolladas por otros autores anteriores como casos particulares del esquema propuesto, a partir del cual pueden efectivamente obtenerse dichas transformaciones para adecuadas elecciones concretas de los valores de los parámetros numéricos y de la función de las coordenadas que intervienen en nuestra familia de transformaciones. A diferencia de otros métodos de regularización por linealización de las ecuaciones del movimiento de sistemas keplerianos utilizados por otros autores, la descripción del movimiento kepleriano proporcionada por la aplicación de un método basado en variables focales no está restringida al caso de las órbitas elípticas, por lo que la mayor parte de los resultados obtenidos son uniformemente válidos para todos los tipos de cónicas solución del problema de Kepler. A partir de ciertos sistemas keplerianos perturbados, formulados en forma hamiltoniana y en los que la perturbación considerada viene caracterizada por medio de un potencial que -de una manera general- presenta una forma funcional con dependencia tanto respecto de coordenadas como de momentos conjugados, y aplicando la técnica general del método focal utilizado en esta Memoria, en función de variables canónicas focales no especificadas se obtienen ecuaciones diferenciales cuasi-lineales que corresponden a sistemas de osciladores no lineales perturbados (en general, acoplados a través de términos no lineales que son del orden de la perturbación incorporada al modelo en cuestión, y forzados por términos que asimismo son no lineales y del orden de la perturbación). Esta forma general del potencial perturbador incluye algunos casos particulares de modelos de potencial de especial interés que surgen en el estudio del problema del movimiento orbital de satélites artificiales de la Tierra. El análisis de los términos no lineales anteriormente mencionados permite identificar potenciales concretos que son compatibles con la linealización exacta por medio de transformaciones de variables canónicas que definen variables de tipo focal, es decir, potenciales asociados a sistemas keplerianos perturbados para los cuales las ecuaciones diferenciales del movimiento perturbado pueden linealizarse exactamente por medio de conjuntos canónicos de variables redundantes de tipo focal introducidos a través de la familia de transformaciones anteriormente considerada. En los casos que admiten linealización exacta en variables focales, la contribución de los efectos perturbadores recogida en la parte no kepleriana del potencial queda absorbida por las frecuencias modificadas (constantes) de los osciladores lineales y por los términos de acoplamiento (en este caso, lineal) entre los mismos, como ¿por otra parte- se ilustra y se comprueba también explícitamente, por cálculo directo, para una pequeña selección de casos concretos, tratados con detalle a título de ejemplos sobre el comportamiento analítico (respecto a la reducción exacta de sistemas keplerianos perturbados a osciladores lineales) de algunas transformaciones que introducen variables focales. De acuerdo con la definición general de Stiefel y Scheifele , un ``elemento del movimiento kepleriano¿¿ es cualquier cantidad que, a lo largo de un movimiento kepleriano puro (es decir, no perturbado), es una función lineal de la variable independiente; en particular, un elemento puede permanecer constante. Una ventaja de la introducción de elementos es que éstos varían de una manera casi lineal si el movimiento está sometido a perturbaciones débiles; por el contrario, cualquier otra cantidad relacionada con el movimiento puede variar de una manera bastante complicada. Así pues, frente a perturbaciones los elementos experimentan variaciones lentas, por lo que sus propiedades analíticas y numéricas y su comportamiento deberían ser mejores y más ventajosas que las de las coordenadas. Las ecuaciones diferenciales de primer orden que describen la variación de los elementos debida a la presencia de perturbaciones se denominan ``ecuaciones de los elementos¿¿. En este orden de ideas, se reformulan (en el marco de un formalismo basado en técnicas focales) las consideraciones de algunos estudios anteriores basados en la aplicación de elementos regulares de tipo KS (Kustaanheimo-Stiefel). En este contexto, los ``elementos focales del movimiento kepleriano¿¿ son constantes de integración que figuran en la solución general de las cuatro ecuaciones armónicas escalares no perturbadas a las que se reduce el problema de Kepler puro formulado en variables focales, mientras que para un problema de Kepler perturbado dichos elementos verificarán un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que dan cuenta de sus variaciones (causadas por las perturbaciones consideradas). En consecuencia, se deducen las ecuaciones de elementos keplerianos regulares correspondientes a una formulación focal (para mayor concreción, en variables DEF), y a continuación se particulariza el estudio para el caso del denominado ``Problema Fundamental de la Teoría de Satélites Artificiales de la Tierra¿¿, con el propósito de desarrollar, en función de elementos regulares DEF, una teoría analítica no singular para el movimiento orbital de un satélite artificial (considerado como un sistema kepleriano perturbado en el que la perturbación es la debida al segundo armónico zonal del desarrollo del geopotencial en serie de armónicos esféricos). La elaboración de dicha teoría analítica no singular presupone una aplicación del método focal para construir la expresión analítica, en este caso en función de elementos orbitales keplerianos asociados a las variables focales DEF, del segundo armónico zonal del potencial gravitatorio creado por un sólido rígido (de figura geométrica y distribución de masa arbitrarias) en un punto exterior, y deducir a continuación las correspondientes ecuaciones diferenciales casi-lineales de segundo orden que gobiernan el movimiento perturbado. Las ecuaciones resultantes describen el movimiento de un conjunto de osciladores no lineales, perturbados y acoplados, cuyo tratamiento por medio del Método de Variación de las Constantes permite obtener el sistema de ecuaciones diferenciales de los elementos para el Problema Fundamental de la Teoría del Satélite Artificial. Para las ecuaciones así obtenidas se aborda una resolución analítica aproximada. La expresión del segundo armónico zonal que se utiliza en este estudio es un caso particular de una expresión general que se propone para cualquier término zonal del potencial gravitatorio: por medio de variables y elementos focales, los armónicos zonales se expresan directamente y de manera exacta, en forma cerrada, como desarrollos analíticos finitos, bajo la forma de polinomios trigonométricos (polinomios de Fourier) respecto del pseudo-tiempo focal (de tipo anomalía verdadera) elegido para representar paramétricamente el movimiento, con coeficientes que son funciones de elementos del movimiento kepleriano, y sin necesidad de recurrir a ninguna truncación de series (infinitas) de Fourier en un número finito de términos. De este modo se dispone de representaciones exactas para los sucesivos términos que intervienen en el desarrollo de la parte zonal del potencial de la atracción gravitatoria creada en un punto exterior por un sólido rígido. A diferencia de los tratamientos de este problema perturbado realizados por otros autores (que limitan sus consideraciones al caso de órbitas con excentricidad menor que la unidad), el estudio efectuado en esta Memoria es, de nuevo, válido para cualquier valor de la excentricidad orbital. PALABRAS CLAVE: Mecánica Celeste Lineal y Regular, sistemas keplerianos perturbados, osciladores perturbados, variables redundantes, transformación puntual ``descomposición proyectiva del vector de posición¿¿, extensiones canónicas y débilmente canónicas, variables y elementos focales, pseudo-tiempo focal.