Geometría global de superficies espaciales en espacios producto lorentzianos

Resumen

Una superficie maximal en una variedad lorentziana 3-dimensional es una superficie espacial con función curvatura media idénticamente nula, A lo largo de esta tesis estudiamos problemas de naturaleza global sobre la geometría de las superficies espaciales, y maximales en particular, en espacios producto lorentzianos, es decir, en espacios productos de la forma M^2xR con (M^2,g_M) una superficie riemanniana, dotados de la métrica lorentziana g_M-dt^2. Además, a menudo consideraremos que la curvatura de Gauss de la superficie M es no negativa. En primer lugar generalizamos uno de los problemas más conocidos referentes a la geometría global de superficies maximales en el espacio de Lorentz-Minkowski R^3_1 al caso de superficies maximales en un espacio producto lorentziano, el teorema de Calabi-Bernstein. Además, obtenemos esta generalización tanto desde un punto de vista paramétrico como desde un punto de vista no paramétrico. Profundizando en el estudio de las superficies maximales en estos espacios ambiente, también estudiamos algunos problemas de naturaleza local, que a posteriori tendrán importantes repercusiones globales. Por ejemplo, mostramos interesantes criterios de parabolicidad relativa para superficies maximales con frontera no vacía en un producto lorentziano. Los espacios producto lorentzianos son un caso particular de la familia más extensa de variedades lorentzianas conocidas como productos de Robertson-Walker generalizados. Los espacios tipo steady state son otra subfamilia destacada de los productos de Robertson-Walker generalizados. Las superficies equivalentes a las superficies maximales en un espacio tipo steady state son las superficies espaciales con curvatura media constante H=1. Por tanto, de un modo natural continuamos nuestro estudio con la búsqueda de propiedades de tipo Calabi-Bernstein para superficies espaciales con curvatura media constante en los espacios tipo steady state. De este modo damos un resultado de unicidad para superficies maximales completas acotadas del infinito en un espacio tipo steady state. Por último consideramos superficies espaciales con curvatura de Gauss constante en espacios producto, tanto lorentzianos como riemannianos. A partir de una bonita fórmula integral para superficies compactas en espacios producto, en el caso particular en que la curvatura de Gauss de la superficie sea constante obtenemos algunos resultados de tipo Calabi-Bernstein cuando M es la esfera S^2.