On discrete Brunn-Minkowski type inequalities

Résumé

La famosa desigualdad de Brunn-Minkowski establece que la raíz n-ésima del volumen de conjuntos compactos (y convexos) es una función cóncava. El principal objetivo de esta Tesis Doctoral es estudiar desigualdades de tipo Brunn-Minkowski en el contexto discreto, es decir, sustituyendo los compactos por conjuntos finitos de puntos y el volumen por el cardinal. Comenzamos la memoria estableciendo las nociones básicas que se necesitarán para el posterior desarrollo de los contenidos. Además, en este primer capítulo, estudiamos la desigualdad de Brunn-Minkowski, y vemos que no es posible conseguir una "traducción inmediata" de la misma para conjuntos finitos. Así, va a ser necesario, o bien cambiar la estructura de la desigualdad, o modificar alguno de los conjuntos involucrados. En la última parte de este capítulo analizamos desigualdades discretas de tipo Brunn-Minkowski ya conocidas que tienen una estructura diferente, haciendo especial hincapié en la desigualdad de Gardner y Gronchi, para la cual proponemos un nuevo método que permite calcular la cota de manera eficiente. El segundo capítulo está dedicado a determinar versiones discretas de la desigualdad de Brunn-Minkowski manteniendo su forma clásica y, por tanto, modificando uno de los conjuntos. Para ello consideramos dos construcciones: en la primera de ellas añadimos puntos de manera recursiva a uno de los conjuntos, mientras que en la segunda suprimimos puntos de una forma concreta. Con estas construcciones conseguimos dos nuevas versiones discretas (y equivalentes) de la desigualdad de Brunn-Minkowski, probando además que éstas implican la desigualdad clásica de Brunn-Minkowski para el volumen de conjuntos compactos. Concluimos el capítulo proporcionando cotas superiores e inferiores para el cardinal de los nuevos conjuntos, lo que demuestra que el número de puntos que se añaden/eliminan en estas construcciones está, en cierta forma, controlado. Finalmente, en el tercer capítulo, utilizamos las técnicas anteriores con el fin de obtener versiones discretas de la llamada desigualdad de Borell-Brascamp-Lieb, un resultado funcional que generaliza la desigualdad de Brunn-Minkowski. Existen dos versiones equivalentes del resultado clásico de Borell-Brascamp-Lieb, que introducimos en la primera parte del capítulo. En ambos casos demostramos la correspondiente versión discreta, pero utilizando dos formas de medir diferentes: el cardinal en una de ellas y el enumerador de puntos del retículo en la otra. Se prueba que éstas también pueden usarse para deducir las respectivas desigualdades clásicas de Borell-Brascamp-Lieb. La metodología seguida ha sido la usual en un proyecto de investigación en matemáticas: el estudio en profundidad de artículos y textos en Geometría Convexa y Discreta, con el fin de adquirir la base necesaria para abordar los problemas planteados, un análisis pormenorizado de los resultados ya conocidos, para así establecer los puntos de partida de nuestra investigación, y el desarrollo y creación de nuevas técnicas que permitan resolver los problemas planteados. En conclusión, podríamos decir que se han logrado sobradamente los objetivos marcados. Los problemas planteados se han podido resolver satisfactoriamente (obtención de nuevas desigualdades discretas de tipo Brunn-Minkowski y Borell-Brascamp-Lieb) y, de hecho, los cuatro trabajos de investigación y las numerosas participaciones en congresos a los que esta tesis ha dado lugar así lo demuestran. Creemos además que el contenido de esta Tesis Doctoral va a permitir un mayor desarrollo en el estudio de desigualdades discretas, gracias a las construcciones y técnicas que se han desarrollado.