Curvas en los espacios 3-dimensionales pseudo-riemannianos de curvatura constante

Resumen

RESUMEN DE LA TESIS 1. Objetivos El principal objetivo de la tesis consiste en obtener nuevos resultados en el estudio de las curvas de Bertrand, curvas rectificantes y hélices slant en los espacios tridimensionales de curvatura constante. Presentamos las propiedades más representativas de cada familia de curvas, atendiendo al tipo de curva que estudiamos (curva de Frenet, pseudo-nula o nula). Determinamos sus ecuaciones naturales (en función de sus curvaturas y del parámetro arco), y obtenemos distintas propiedades y teoremas de caracterización. Para cada familia de curvas introducimos determinadas superficies (superficie cónica, superficie hélice) que nos permitirán su integración geométrica. 2. Metodología La metodología es la propia de cualquier trabajo de investigación básica en matemáticas. En primer lugar, estudio bibliográfico del tema objeto de la tesis. Posteriormente, estudio y comprensión de los diferentes artículos publicados que determinan la base de dicho tema. Estudio, al mismo tiempo, de las herramientas y técnicas necesarias para la comprensión de los diferentes trabajos. Estudio del problema utilizando todo el material revisado, reflejando los avances en artículos de investigación que serán publicados en revistas internacionales de reconocido prestigio. Participación activa en el seminario de geometría que se viene realizando en el grupo de investigación al que pertenezco donde se exponen los avances y problemas encontrados. Discusión de los problemas y avances con el director de la tesis. 3. Resultados o conclusiones El primer avance destacable para las curvas de Bertrand es la extensión de su definición a los espacios modelo 3-dimensionales, lo cual nos permite obtener su ecuación natural. Caracterizamos las curvas planas y las hélices como las únicas curvas de Bertrand con infinitas conjugadas. Presentamos teoremas de caracterización para curvas de Bertrand pseudo-nulas y nulas. Caracterizamos los funcionales de energía, que dependen sólo de la curvatura de la curva, cuyo espacio de trayectorias está formado únicamente por curvas de Bertrand. También presentamos novedades en el estudio e integración de las curvas de Bertrand en los espacios pseudo-euclídeos. Realizamos la extensión de la definición de curva rectificante y su vinculación con las superficies cónicas. Demostramos que las curvas rectificantes son las geodésicas de las superficies cónicas. Encontramos las parametrizaciones de estas geodésicas y la relación que guardan sus curvaturas con su parámetro arco (ecuación natural). Caracterizamos las superficies desarrollables rectificantes. Concretamente, estas superficies son superficies cónicas si, y sólo si, la curva que la genera es rectificante. El teorema principal ofrece una integración geométrica para las curvas rectificantes a partir de curvas esféricas. Por último, tenemos un teorema de caracterización de las curvas rectificantes como mínimos de una determinada función y un resultado que nos relaciona las curvas rectificantes que son curvas de Bertrand con las hélices cónicas generalizadas. Por último, extendemos la definición de las hélices slant. Obtenemos que no existen hélices slant en los espacios hiperbólico y de-Sitter. Determinamos las ecuaciones naturales de las hélices slant. Introducimos el concepto de superficie hélice y probamos que son superficies llanas. A continuación caracterizamos las superficies llanas que son de tipo hélice. Por último, conseguimos la integración geométrica de las hélices slant y las caracterizamos como las geodésicas de las superficies hélice. Terminamos con la integración geométrica de las hélices slant pseudo-nulas y nulas. La tesis contribuye al estudio de las curvas en los espacios 3-dimensionales pseudo-riemannianos de curvatura constante, siendo éste un tema que se enmarca entre la geometría diferencial y la geometría de Riemann. Nuestra contribución ha sido publicada en 8 artículos de investigación en revistas internacionales de alto impacto, tal y como se puede ver en las referencias [LO12], [LO13a], [LO13b], [LO14], [LO15], [LO16a], [LO16b] y [LO17] de la memoria que se presenta.