Álgebra y fundamentosuna introducción

Resumen

Este libro pretende, en primer lugar, entrenar a los alumnos de los dos primeros cursosuniversitarios en el uso del lenguaje matemático y del método deductivo, de tal forma que puedan leer provechosamente otros textos matemáticos y sean capaces de expresar con precisión y rigor sus propios argumentos. De ahí que comience con una introducción a la lógica y a la teoría intuitiva de conjuntos. A continuación, se pre- sentan las estructuras algebraicas y de orden imprescindibles para fundamentar el análisis matemático, siendo la resolución de ecuaciones algebraicas el hilo conductor de los capítulos centrales, donde se empieza introduciendo los números naturales como los cardinales de los conjuntos finitos y se termina construyendo los números complejos a partir de los reales. El capítulo acerca de los cardinales transfinitos per- mite reflexionar sobre los límites del método deductivo, en relación con las paradojas que surgen en la teoría intuitiva de conjuntos y la imposibilidad de decidir la verdad o la falsedad de la hipótesis del continuo. El libro está escrito en un lenguaje inteligible, subraya las raíces intuitivas de muchas ideas matemáticas —ilustradas con figuras apropiadas cuando es posible— y utiliza las aplicaciones de las matemáticas y su historia como elementos motiva- dores. Este es el propósito del último capítulo, dedicado a las extensiones de cuer- pos y a sus aplicaciones a la ecuación funcional de Cauchy, a las bases de Hamel y a la imposibilidad de ciertas construcciones geométricas con regla y compás. Todos los capítulos contienen una amplia colección de problemas resueltos.