"Transformaciones homográficas de modelos tridimensionales. Análisis proyectivo para el desarrollo de una aplicación infográfica."

Resum

En esta tesis se aborda un aspecto de las homografías tanto en 2D como en 3D bajo el enfoque de la geometría proyectiva, para después diseñar algoritmos e implementarlos en programas que funcionan sobre un programa infográfico de gran uso como Autocad. Estos programas son potentes herramientas gráficas que se podrán emplear en diversas disciplinas de la arquitectura, la ingeniería y el arte. Desde la Geometría Descriptiva y Métrica se vienen estudiando las homologías entre figuras planas, bien sea en el plano o en el espacio. Pero son escasos los estudios que se refieren a figuras tridimensionales, y la mayoría de ellos van ligados a algún sistema de representación bidimensional, y no tridimensional como se hace en esta tesis mediante Autocad. El Álgebra y la Geometría Proyectiva estudian las homografías en general en espacios n-dimensionales, mediante un producto matricial en coordenadas homogéneas de un espacio de dimensión n+1. Existen numerosas publicaciones donde se ilustra el caso bidimensional, no habiéndose encontrado ninguna en que se concrete el caso tridimensional, ni se resuelva con datos concretos tal y como se hace en esta tesis. En el ámbito infográfico los precedentes se diferencian en 2D y 3D. En 2D encontramos lo que se llama enderezado o rectificación de fotogramas de elementos planos, es decir, corrección de fugas para lograr una imagen de una figura plana sin deformaciones; en esta tesis se aborda el problema en un entorno vectorial y no raster. En 3D hay referencias en lo relativo al registro de imágenes médicas 3D procedentes de tomografías o resonancias magnéticas, donde se estudian transformaciones no rígidas como el escalado, la afinidad y la homografía (transformación proyectiva), si bien de estas últimas no se han encontrado referencias concretas de su uso, ni están disponibles en las librerías de programación más manejadas (ITK y VTK). Los programas diseñados en esta tesis Homograf y Homograf3D resuelven las homografías 2D y 3D a partir de cuatro o cinco pares de puntos homólogos respectivamente, pudiendo transformar objetos línea o 3Dcara de Autocad. Para ello se plantean y resuelven los sistemas de ecuaciones que nos dan los parámetros de la matriz de transformación, multiplicándose por ella las coordenadas homogéneas de los puntos a transformar para obtener las coordenadas de los puntos transformados. En la tesis se muestran estos algoritmos así como otros 2D previos, basados en las construcciones de la Geometría Descriptiva. Se clasifican las homografías en ordenadas y desordenadas, se propone el concepto de homología pseudo-regular y finalmente se exponen una serie de ejemplos de aplicación del programa, de los que destacamos en 2D: la fotogrametría de elementos planos, la obtención de perspectivas planas, la generación de anaglifos, el trazado de cónicas, la corrección de cartografía 2D, etc. Y en 3D el trazado de superficies cuádricas, la generación de modelos 3D para arquitectura ilusoria y oblicua, escenografías, bajorelieves, estereotomía, cálculo por elementos finitos, etc. Finalmente se apuntan cuatro futuras líneas de investigación: las homografías 4D, el dibujo de elementos notables en las cuádricas, la extensión a otros objetos de Autocad y la corrección de cartografía 3D.