Sobre la regularidad métrica de aplicaciones en optimización

Abstract

El cuerpo de esta memoria está formado por tres capítulos, precedidos por un capítulo preliminar. Empezamos el Capítulo 0, presentando la notación y algunas definiciones básicas empleadas a lo largo de la memoria. También suministramos las definiciones más importantes sobre regularidad métrica que son empleadas en los siguientes capítulos, proporcionando una caracterización de cada una de estas propiedades mediante otra noción de regularidad métrica de la aplicación inversa. Adicionalmente, establecemos las principales relaciones entre todas estas nociones. En la Sección 0.3 recordamos algunos conceptos básicos acerca de las correspondencias sublineales (o procesos convexos), sus normas internas y externas, y sus aplicaciones adjuntas. Finalizamos el capítulo enunciando algunos resultados conocidos que son usados en los siguientes capítulos. El Capítulo 1, está dedicado al estudio de las normas interna y externa de las correspondientes sublineales, mediante un análisis de su finitud y cierta teoría de dualidad. Para un operador lineal acotado, las normas interna y externa de la aplicación inversa caracteriza, respectivamente, la suprayectividad y la inyectividad de la función. En la Sección 1.2 estudiamos también algunas condiciones para la finitud de las normas interna y externa. Aclaramos un error encontrado en el libro de Rockafellar-Wets "Variational Analysis" y demostramos que, de hecho ambas normas no pueden ser finitas si la correspondencia sublineal es multivaluada en un punto (es decir, toma dos valores distintos en cierto punto del dominio). Una correspondencia sublineal es semicontinua interior en (0,0) si y sólo si verifica esta propiedad en cualquier punto del espacio X. Una correspondencia es semicontinua interior en 0 exactamente cuando la norma interna de F es finita. De hecho, demostramos que esta equivalencia es válida para cualquier aplicación positivamente homogénea en el Corolario 1.2.6.