Nuevos resultados sobre e-convexidad

Resumo

En esta memoria se plantean dos problemas diferentes organizados en cuatro capítulos, y precedidos por un capítulo preliminar. En dicho capítulo inicial, se presentan la notación, las definiciones y los resultados más importantes del análisis convexo que se emplearán a lo largo de la memoria, así como las nociones y resultados más destacados sobre econvexidad. El primer problema, que da título y cuerpo a la tesis con los tres primeros capítulos, consiste en estudiar una nueva clase de funciones convexas como es la clase de las funciones e-convexas (diremos que una función es e-convexa si su epigrafo es un conjunto e-convexo). En el primer capítulo de la tesis establecemos las principales propiedades de esta clase de funciones que contiene a la importante subclase de las funciones convexas semicontinuas inferiormente, funciones que juegan un papel crucial en Optimización. Además, caracterizamos las funciones e-convexas propias en términos de la semicontinuidad inferior. En el capítulo 2 se analiza la teoría de la dualidad para este tipo de funciones: se presentan diversas caracterizaciones de las funciones e-convexas y un esquema de conjugación adecuado. Además, se introduce una nueva función soporte adecuada para los conjuntos e-convexos, en el sentido de que esta nueva función soporte contiene toda la información del conjunto cuando éste es e-convexo. Por último, en el capítulo 3, se aplica el esquema de conjugación obtenido para estudiar la dualidad fuerte de Fenchel en problemas de optimización e-convexos (en los que tanto la función objetivo como el conjunto factible son e-convexos). Por otro lado, el segundo problema que se plantea en esta memoria se corresponde con el capítulo 4. En él, se han introducido dos familias de propiedades para conjuntos convexos en Rn con el objetivo de probar dos familias de teoremas de separación lexicográfica, relativos a la separación lexicográfica abierta y cerrada, respectivamente, de un determinado conjunto convexo y un punto exterior por una matriz de rango dado. 1Financiado por el Programa FPI del MICINN, Ayuda BES-2006-14041.