Los cuerpos paralelos interiores del polinomio de Steiner a la desigualdad de Poincaré

Résumé

El objetivo fundamental de este trabajo ha sido el estudio del sistema fundamental de paralelos de un cuerpo convexo (conjunto compacto y convexo) en el espacio euclídeo n-dimensional, Se ha llevado a cabo siguiendo tres líneas diferentes: el estudio del polinomio de Steiner y el polinomio alternado Steiner desde el punto de vista algebraico de sus raíces y la conjetura de Matheron; el estudio de la diferenciabilidad de las quermassintegrales asociadas al cuerpo con respecto al parámetro de definición del sistema completo de paralelos y, por último, el estudio de las quermassintegrales del cuerpo desde el punto de vista analítico proporcionado por la identificación del cuerpo convexo con su función soporte, las propiedades de ésta cuando el cuerpo es suficientemente suave y la desigualdad de Brunn-Minkowski. El estudio del polinomio de Steiner desde el mencionado enfoque de sus raíces permite clasificar los cuerpos convexos en tres grandes clases dependiendo del tipo de raíces que su polinomio de Steiner presente. Dicha clasificación permite además dar una condición necesaria para los cuerpos que cierran el conocido problema del diagrama de Blaschke. El estudio de la diferenciabilidad de las quermassintegrales de un cuerpo convexo como funciones del parámetro que define la familia completa de paralelos de dicho cuerpo, se remonta a Hadwiger. El problema clásico de Hadwiger, en dimensión tres, está relacionado con el estudio de las raíces del polinomio de Steiner, las cuales permiten dar resultados parciales al problema clasico. No obstante, este problema se puede establecer en dimensión arbitraria. En este trabajo se definen, para dimensión n, n clases de cuerpos convexos, análogas a las definidas por Hadwiger en dimensión 3. Caracterizamos una de las clases, la más pequeña, en el contexto más general y damos condiciones necesarias para que un cuerpo convexo se halle en el resto de clases. El estudio de la diferenciabilidad de las quermassintegrales permite además establecer cotas para las quermassintegrales de los cuerpos paralelos. Este estudio tiene su origen en la conjetura de Matheron que trata de acotar el volumen de los paralelos interiores en función del polinomio alternado de Steiner. En este trabajo damos respuesta negativa a dicha conjetura y establecemos cotas (óptimas), tanto para el volumen, como para el resto de integrales en términos de sumas parciales del polinomio alternado, y por tanto, en términos de las quermassintegrales del cuerpo original.La desigualdad de Brunn-Minkowski, que nos asegura la concavidad de la (n-i)-raíz de la i-quermassintegral, unida a la posibilidad de definir dichos funcionales sobre un intervalo real por medio del sistema completo de paralelos, permite dar una interpretación concisa de la concavidad. Dicha interpretación permite deducir de la desigualdad clásica para quermassintegrales, una serie de desigualdades de tipo Poincaré, sobre la frontera de cuerpos convexos suficientemente suaves. Asimismo, en el caso de la medida de área de orden uno, la desigualdad se establece para cuerpos convexos arbitrarios.