Índice de alcanzabilidad local de sistemas 2d positivos

Resumen

En la teoría de control, para conocer la estructura interna del sistema, se estudian ciertas propiedades tales como la alcanzabilidad, la controlabilidad completa y la cero controlabilidad, las cuales, en el caso bidimensional en tiempo discreto, se estudian tanto de manera local como global, El sistema se dice localmente alcanzable si puede evolucionar desde el estado global inicial nulo a cualquier estado local no negativo mediante una secuencia de entradas no negativas. El mínimo número de pasos necesarios para alcanzar todos los estados locales del sistema es el índice de alcanzabilidad local del sistema ($I_{LR}$). Este índice juega un papel fundamental ya que permite determinar en un número finito de pasos si el sistema es localmente alcanzable o no. El índice de alcanzabilidad en sistemas 1D positivos está acotado por la dimensión del problema $n$ y ha sido estudiado en \cite{BrCoRoSa}, \cite{Br}, \cite{FoNa}, \cite{Pop} y \cite{RoZa}, entre otros. Sin embargo, encontrar una cota para el índice de alcanzabilidad local en sistemas 2D positivos es actualmente una cuestión sin resolver. La forma algebraica (tradicional) de abordar el cálculo del índice de alcanzabilidad del sistema pasa por el estudio de las llamadas matrices de alcanzabilidad. Estas matrices se construyen mediante productos de Hurwitz de las matrices que definen el sistema, o utilizando técnicas similares. Por otro lado, las propiedades estructurales de estos sistemas permiten también una aproximación de carácter combinatorio al problema, introduciendo el concepto de digrafo asociado al sistema. Trabajando con él, en \cite{FoVa} los autores sugieren $n^2/4$ como cota superior del índice de alcanzabilidad local para cualquier sistema 2D positivo. Después, en \cite{FoVa2} los mismos autores revisan la conjetura anterior, sugiriendo $(n+1)^2/4$ como nueva cota superior. Además, Kaczorek (ver \cite{Ka}) afirma haber demostrado que la cota superior para el índice de alcanzabilidad de los modelos generales de sistemas $2$D positivos de orden $n$ es $2(n+1)$. Sin embargo, la prueba presenta algunas incorrecciones, invalidando tal resultado. Esto justifica que el cálculo de una cota para el índice de alcanzabilidad local en sistemas $2$D positivos constituye un problema de dificultad considerable. En este trabajo se ha profundizado en el estudio del concepto de alcanzabilidad local en el contexto de los sistemas $2$D positivos descritos por el modelo de Fornasini-Marchesini de segundo orden. Se analizan los sistemas $2$D positivos en los que el digrafo asociado consta de dos ciclos disjuntos conectados a una única fuente por arcos de tipo $1$ y tales que el número de arcos de tipo 2 de cada uno de los ciclos es el mismo. Se caracteriza la alcanzabilidad local de estos sistemas y se calcula su índice de alcanzabilidad local proporcionando una cota superior alcanzable para dicho índice. Se obtiene una herramienta (la tabla de composición) que recoge toda la información de las matrices de alcanzabilidad. Se analiza la alcanzabilidad local de tales sistemas y se proporciona una técnica para obtener el índice de alcanzabilidad local. Finalmente, se construyen tres nuevas familias de sistemas que se caracterizarán por el hecho de que cada una de ellas tiene un índice de alcanzabilidad local mayor que la anterior. Para cada una de ellas, se demuestra la alcanzabilidad local de los sistemas que las forman, se calcula el índice de alcanzabilidad local de los mismos y se proporciona una cota alcanzable del $I_{LR}$. La última de las familias nos sirve para afirmar que la cota para el índice de alcanzabilidad local de los sistemas $2$D positivos de dimensión $n\geq 12$ debe ser, al menos, $(n^3+9n^2+45n+108)/27$.