Consideraciones epistemológicas sobre algunos ítems de los fundamentos de las matemáticas

Resumen

Tomando como punto de partida el proceso revisión de los fundamentos matemáticos llevado a cabo durante el siglo XIX, este estudio se centra en uno de los conceptos matemáticos más importantes: el infinito. Es innegable la importancia de este concepto en el avance de las Matemáticas y es fácil encontrar ejemplos matemáticos en los que interviene (definición de límite, definición de derivada, definición de integral de Riemann, entre otras). Debido a que algunas de las paradojas y contradicciones originadas por la falta de rigor en las Matemáticas están relacionadas con este concepto, se comienza con el estudio epistemológico del concepto matemático del infinito revisando la bipolaridad que presentan algunos conceptos semánticos, definidos de forma inseparable y conjunta, constituyendo un único concepto como si representaran los polos de un imán. En este estudio se concluye que la bipolaridad revela que una lógica conceptual que puede asumir la comprensión de la negación, debe ser una lógica dialéctica, es decir que admite como verdaderas algunas contradicciones. En el caso del concepto matemático de lo finito-infinito, nos encontramos de nuevo con una bipolaridad lógica. Por todo lo expuesto se presenta una teoría no cantoriana para el infinito potencial y actual, basada en la imprecisión lingüística del concepto de infinito, y utilizando el concepto de conjunto homógono, formado por una sucesión convergente y su límite, previamente introducido por Leibniz, que permite aunar los dos polos del concepto de infinito en un único conjunto. Esta nueva teoría de conjuntos permitirá presentar en lenguaje homogónico, algunos de los conceptos fundamentales del análisis tales como, la diferencial y la integral, así como algunas aplicaciones a la Óptica y a la Mecánica Cuántica. Posteriormente se presenta la categoría lógica de la oposición cualitativa a través de diferentes ejemplos de diversas áreas de la ciencia, y se define, a través de tres reglas o normas básicas, el paso de la lógica aristotélica o analítica a la lógica sintética, que incluye al neutro como parte de la oposición cualitativa. Con la aplicación de estas normas a la oposición cualitativa y, en particular, a su neutro, se demuestra que la lógica sintética permite la verdad de algunas contradicciones. Esta lógica sintética es dialéctica y multivaluada y da a cada proposición un valor de verdad en el intervalo [0,1], que coincide con el cuadrado del módulo de un número complejo. Esto marca una notable novedad respecto de la lógica aristotélica o analítica que otorga valores de verdad reales, o incluso a la lógica difusa que, a pesar de ser una lógica multivaluada otorga valores de verdad reales en el intervalo [0,1]. En esta lógica dialéctica, las contradicciones del neutro de una oposición pueden ser verdaderas. Finalmente se plantea la aplicación de la lógica dialéctica, a la Mecánica Cuántica, cuyo carácter es no determinista y en la que es posible encontrar ejemplos de situaciones contradictorias debido a la dualidad onda-corpúsculo. Para ello se establece un isomorfismo entre la lógica dialéctica y la teoría de la probabilidad, a la que se añade el concepto de fortuidad, precisamente para reflejar el carácter no determinista. Podemos pues concluir tras este estudio que en la historia de las Matemáticas encontramos un momento relevante situado en el siglo XIX en el que se produce un cambio de paradigma, debido a que el carácter poco riguroso de las Matemáticas llevaba a constantes contradicciones y paradojas, algunas de ellas relacionadas con el concepto de infinito matemático. Así pues, comienza un proceso de rigorización y de aritmetización del análisis que utiliza mejores condiciones lógicas en sus fundamentos, lo que únicamente era posible partiendo de una abstracción nueva o la introducción explícita de supuestos teóricos sobre la existencia y la naturaleza de las entidades. Se trataba de encontrar una unidad teórica en la diversidad, exigiendo una adecuación conciencia de la naturaleza de las Matemáticas e incluso del propio conocimiento. Este cambio de paradigma hizo avanzar las Matemáticas de manera significativa, y condujo a la creación de destacadas Sociedades Matemáticas, que aportaban legitimidad a los nuevos resultados matemáticos que se iban obteniendo. Es innegable que la aritmetización y la rigorización introdujeron técnicas muy productivas para todas las áreas matemáticas. Esta explosión en la producción científica supone un problema para los actuales matemáticos, a quienes les resulta imposible conocer y entender todos los problemas matemáticos de las distintas áreas matemáticas, además de detectar las principales líneas de investigación. Igualmente, resulta imposible para un matemático comprobar la veracidad cada uno de los resultados anteriores en los que apoya su prueba. Desde la segunda mitad del siglo XX se ha aceptado como correcto cualquier resultado obtenido a partir los resultados colectivos. Siguiendo la estela de los problemas matemáticos detectados el siglo XIX nos planteamos considerar el problema de la bipolaridad de algunos conceptos filosóficos y matemáticos tales como la infinidad. Para ello consideramos una visión dialéctica de los conceptos, desarrollando dos relaciones antinómicas de exclusión e implicación mutua. Así por ejemplo, si nos quedamos en el nivel de comprensión los conceptos cualidad y cantidad se excluyen (el primero es inmutable, el segundo puede cambiar), mientras que si pasamos al nivel de comprensión estos dos conceptos se implican mutuamente (si hay una, está la otra y viceversa). Lo mismo sucede con los conceptos orden y cardinalidad. El concepto del infinito matemático, es un concepto sin contenido específico (no es comprensible para nosotros), y por esta razón los finitistas prefieren ignorarlo. Desde un punto de vista numérico el infinito no promueve cambio cualitativo alguno (operaciones con el infinito, salvo el convenio de infinito dividido entre infinito). En cambio, el infinito proporcionado por el transfinito promueve solamente el cambio en ciertas cualidades matemáticas abstractas (límites, derivadas, integrales). Es por ello que la naturaleza potencial del infinito, que parecía haber sido completamente abandonada como resultado de la Teoría de Cantor, reapareció. Así pues, podemos definir un par de relaciones antinómicas con el infinito potencial y el actual, que se excluyen en extensión mientras que se implican mutuamente en comprensión. El transfinito con polos potenciales y reales, cuantitativos y cualitativos, es consistente con la experiencia sin excepción, incluyendo el cambio cualitativo inherente. La tendencia es renunciar a la verdad de las contradicciones en el pensamiento racional, aunque las Matemáticas modernas y la Teoría de Conjuntos en particular, se enfrentan a estas contradicciones. La Lógica analítica no resuelve estas contradicciones pues queda atrapada en la trampa de la antinomia. Así pues, se plantea una Lógica paraconsistente dialéctica que resuelva las contradicciones, aunque queda pendiente investigar otras perspectivas como la extensión a la oposición con neutralidad, el estudio del grado de falsedad desde una Lógica difusa intuicionista junto con el grado de indeterminación (o neutralidad, es decir, ni verdadero ni falso), como en una Lógica neutrosófica. Todos esto trabajos que quedan pendientes para el futuro. Finalmente, establecemos un isomorfismo entre la teoría probabilista con la que se aborda la Mecánica Cuántica y una Lógica dialéctica multivaluada. La Mecánica clásica es un ejemplo de una teoría puramente analítica; es determinista, que significa que toma en consideración todas las relaciones necesarias implicadas. Mientras que, desde un punto de vista estadístico se piensa en todas las posibilidades. El carácter sintético del concepto probabilístico del objeto explica una teoría de probabilidades derivadas, no a partir de una Lógica clásica puramente analítica, sino más bien de una Lógica dialéctica en la que la contradicción no es necesariamente falsa. Teniendo en cuenta la desigualdad de Heisenberg, los neopositivistas han hecho una ciudadela de la indeterminación física subrayando que el mayor error físico se debe al grado de contingencia puramente objetivo de una magnitud microfísica aleatoria, con el resultado de una medida de magnitud también objetiva, pero involucrando la intervención humana y, en cualquier caso, macroscópica. Así pues, la interpretación de Copenhague considera cómo la evaluación de nuestra incertidumbre se debe a la inevitable imprecisión de una medida macroscópica. Debido a esta posición, hay una confrontación entre la Mecánica clásica y la Mecánica Cuántica. La comparación de la mecánica probabilística (Mecánica Cuántica) con la determinística (Mecánica clásica) es absurda. Se trata de centrarse en la fortuidad interna del movimiento microfísico enfatizando el movimiento aleatorio macroscópico metrológico. Tal confusión es el resultado de la falta de reflexión sobre dos problemas científicos principales: oportunidad, y el vínculo entre lo que es macroscópico observable y mensurable, y los fenómenos microfísicos del objeto. Heisenberg no quería considerar la contingencia pura y enfatizó la tesis aleatoria-determinista de la ignorancia ligada a un positivismo más estrecho. Desde el punto de vista de los neopositivistas, la razón no puede exceder la experiencia. Esta insuficiencia está en la raíz de la naturaleza estadística de la Mecánica Cuántica. Esto fue señalado por los neopositivistas, afirmando que la función de probabilidad utilizada por la Mecánica Cuántica combina elementos que son totalmente objetivos con declaraciones sobre posibilidades con elementos subjetivos y con nuestro conocimiento incompleto del proceso. En su opinión es este último conocimiento incompleto del proceso lo que implica la imposibilidad de predecir utilizando la Probabilidad. Por supuesto esta investigación no está completa y entre otras cuestiones, nos planteamos como trabajos futuros, tal y como hemos mencionado en un párrafo anterior: la extensión de: la oposición a la oposición con neutralidad y los grados de verdad, el estudio del grado de falsedad tanto en una Lógica difusa intuicionista junto con el grado de indeterminación (o neutralidad, es decir, ni verdadero ni falso), como en una Lógica neutrosófica, son trabajos pendientes. Del mismo modo, las paradojas como el mentiroso o Aquiles y la tortuga pueden tener diferentes explicaciones usando estas lógicas. Todo esto se puede desarrollar en trabajos futuros.