Intercambio de claves sobre anillos no conmutativosend (zpx zp²) y extensiones

Laburpena

La mayoría de los criptosistemas de clave pública más conocidos por sus siglas en inglés PKC (Public Key Cryptosystem), que se utilizan en nuestro entorno cotidiano se fundamentan en ciertos problemas concretos de la teoría de números. En líneas generales, podemos afirmar que su robustez depende de la dificultad computacional de resolver ciertos problemas matemáticos sobre estructuras algebraicas finitas conmutativas. La mayoría de estos protocolos basan su aritmética sobre estructuras algebraicas conmutativas, sobre las que se ha desarrollado un conjunto de ataques, en gran parte de los casos muy eficientes, basados en la conmutatividad dentro de estas estructuras algebraicas. Como consecuencia de constantes avances en el terreno de la computación existe, desde hace unos años, un campo activo de investigación que se conoce como criptografía algebraica no conmutativa, en la que se utilizan estructuras matemáticas no conmutativas que nos puedan proporcionar un mayor nivel de seguridad. El objeto de esta memoria consiste en el diseño de un conjunto de protocolos de intercambio de claves, así como de esquemas de multidifusión sobre estructuras matemáticas no conmutativas en general, y en particular sobre anillos no conmutativos con ciertas características básicas. Para ello se estudia las propiedades algebraicas de un anillo no conmutativo en particular como candidato sobre el que definir los distintos protocolos de intercambio de claves propuestos, anillo de endomorfismos End(Zp×Zp²) del grupo aditivo Zp×Zp² , siendo p un número primo cualquiera. Se introduce un anillo no conmutativo que denotamos por Ep , donde sus elementos se representan mediante matrices de tamaño 2 × 2 con coeficientes enteros y en el que la aritmética de estos elementos se desarrolla en Zp y Zp2 . Se demuestra que Ep es isomorfo al anillo End(Zp×Zp²) y se analizan diversas propiedades algebraicas de Ep. Posteriormente se introduce el anillo Ep(m) para un cierto número primo p y un cierto número entero m > 2, donde los elementos son ahora matrices de tamaño m×m, con coeficientes enteros, de forma que Ep coincide con Ep(2) . En el anillo Ep(m) se extiende la aritmética de sus elementos de una forma análoga a como se realiza para Ep. Y se comprueba que Ep(m) mejora las condiciones en cuanto a seguridad de los protocolos de intercambio de claves definidos. Como conclusión de la memoria, se proponen diversos protocolos de intercambio de claves y esquemas de multidifusión basados en el modelo de Diffie-Hellman sobre un anillo cualquiera no conmutativo. Realizando un análisis de seguridad que concluye que la misma, está directamente relacionada con el número de elementos invertibles de los anillos sobre los que se estudian los protocolos. Más concretamente, es necesario que el número de elementos invertibles del anillo sobre el que se definen los protocolos sea prácticamente nulo para garantizar la seguridad de los mismos.