Uso del conocimiento matemático para la enseñanza en la interpretacion de respuestas a problemas de division-medidaUn estudio con futuros maestros

Abstract

USO DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO PARA LA ENSEÑANZA EN LA INTERPRETACION DE RESPUESTAS A PROBLEMAS DE DIVISION-MEDIDA. UN ESTUDIO CON FUTUROS MAESTROS. En esta tesis se indaga sobre el uso que hacen estudiantes para maestro del conocimiento matemático para enseñar (Ball, Thames y Phelps, 2008; Llinares y Krainer, 2006) cuando interpretan respuestas de estudiantes de Educación Primaria en el contexto de las estructuras multiplicativas, y en particular, en problemas de división-medida (Vergnaud, 1994). Ello permite obtener información para potenciar en los programas de formación inicial de profesores el desarrollo de la competencia “mirar de una manera profesional el pensamiento matemático de los estudiantes” (Jacobs, Lamb y Philipp, 2010) cuando éstos resuelven problemas de estructura multiplicativa. Estos problemas presentan una problemática particular debido a la concepción primitiva de la división como reparto y a que es necesario hacer una interpretación del resto de la división (Ball, 1990; Greer, 1992, Li y Silver, 2000; Tirosh y Graeber, 1990). En el campo específico de los problemas aritméticos escolares, las investigaciones han puesto de manifiesto los conocimientos y concepciones de los estudiantes para profesor (Campbell, 2002) y de los profesores en ejercicio (Ball, 1990), y sus implicaciones a la hora de valorar las respuestas de los alumnos (Verschaffel, De Corte y Borghart, 1997), pero no han profundizado en el uso del conocimiento matemático adquirido en la etapa previa a la universidad para la realización de tareas profesionales como el análisis de las producciones de los alumnos, lo cual ayudará a saber cómo se aprende el conocimiento necesario para enseñar. En este contexto, el objetivo de esta investigación es caracterizar cómo estudiantes para maestro interpretan respuestas de alumnos de 6º curso de Educación Primaria (11-12 años) a problemas de división-medida. Los participantes de este estudio fueron 84 estudiantes para maestro (EPM) del primer curso del título de Maestro de la especialidad de Educación Primaria de la Universidad de Alicante. Entre estos estudiantes había 68 chicas y 16 chicos, con edades comprendidas entre 18 y 38 años (la mediana es 19 años). Los datos de esta investigación se recogieron a través de 2 instrumentos: el Cuestionario 1 donde se proponía a los EPM que resolvierona tres problemas de división-medida en los que se tenía que intepretar el resto de la división, dos de ellos implicaban la división de números narturales y uno la división de un entero entre una fracción, y el Cuestionario 2 centrado en la interpretación de respuestas de alumnos de Educación Primaria a estos problemas, donde se pedía a los EPM que puntuaran cuatro respuestas a cada uno de estos problemas y justificaran dicha puntuación. Las respuestas de los alumnos fueron seleccionadas de manera que dos de estas respuestas se basaran en el algoritmo de la división y las otras dos en procedimientos alternativos como las sumas o restas respetidas o la modelización. Algunas de estas respuestas tenían errores procedimentales o conceptuales. El análisis de los datos se realizó en tres fases: (i) en la primera se hizo un estudio del comportamiento global del grupo utilizando las respuestas dadas por los EPM a los cuestionarios 1 y 2; (ii) en la segunda se identificaron tres perfiles de los EPM sobre las respuestas al cuestionario 2; y (iii) en la tercera se hizo un estudio de casos de los EPM pertenecientes a los perfiles con mayor número de estudiantes. Los resultados del comportamiento global del grupo ponen de manifiesto las dificultades que tuvieron los EPM a la hora de resolver los problemas de división-medida (conocimiento de matemáticas) donde debían interpretar el resto añadiendo una unidad al cociente y donde debían hacer una división de un entero entre una fracción. Este comportamiento mostró la tendencia a excluir el conocimiento del mundo real para interpretar el resto de la división entre enteros (Verschaffel et al., 1997) y de manera más acentuada en el problema que implicaba la división de un entero entre una fracción. Por otro lado, también se observa la tendencia a utilizar el algoritmo de la división para resolver los problemas de división-medida con números naturales. Sin embargo ante las dificultades en la realización de una división de un entero entre una fracción, debidas a la imposibilidad de identificar cuál es la unidad de medida, los EPM utilizaron otros procedimientos alternativos. Además, se identificaron tres maneras (perfiles) de interpretar las respuestas de los estudiantes de Educación Primaria que vienen determinadas por dos características: la valoración por igual o no de los dos procedimientos, división y alternativos, y la valoración del resultado y/o proceso. Esta última característica está relacionada con la capacidad de identificar los errores procedimentales y conceptuales que aparecían en las respuestas de los alumnos de Educación Primaria. Estas tres maneras de interpretar nos muestran que aquellos estudiantes para maestro que valoraron más los procedimientos basados en una división que los alternativos valoraron el hecho de que existen estrategias más eficientes como es la división (que forma parte del conocimiento especializado del contenido matemático) o no identificaron el procedimiento utilizado por el alumno de Educación Primaria. Por otra parte, aquellos estudiantes para maestro que valoraron más un resultado correcto que un procedimiento correcto no identificaron los errores conceptuales y procedimentales de las respuestas de los alumnos de Educación Primaria. La identificación de errores también es parte del conocimiento especializado de contenido matemático. Estos resultados ponen de manifiesto la necesidad de que los EPM identifiquen los elementos matemáticos importantes en estos problemas: significado del resto, significado de división-medida y la identificación de cuál es la unidad de medida en el caso de la división de un entero entre una fracción para intepretar respuestas de estudiantes de primaria donde están implicados diferentes procedimientos y diferentes errores. Estos resultados apoyan la importancia de la relación entre las destrezas de identificar elementos matemáticos importantes e interpretar el pensamiento matemático de los estudiantes para el desarrollo de la competencia mirar de manera profesional (Callejo y Zapatera, 2016; Fernández, Llinares y Valls, 2012; Magiera et al., 2013; Sánchez-Matamoros et al., 2015; Schack et al., 2013).