Sobre las funciones 1 + 2z + ... + nz como aproximantes de la zeta de Riemann, la distribución de sus ceros y su relación con las ecuaciones funcionales f(x) + f(2x) + ... + f(nx) = 0

Zusammenfassung

En 1782 Lagrange relacionó el problema astronómico de la perturbación de los planetas grandes con la variación del argumento de ciertos polinomios exponenciales, emergiendo un problema matemático conocido como Mean Motion, Para extender el problema de Lagrange de los polinomios exponenciales a una clase más general, H. Bohr en 1924 introdujo la noción de función casi periódica, una potente teoría que se maneja en esta tesis con tal de estudiar la distribución asintótica de los ceros de las funciones 1+2^z+...+n^z, que constituyen una sucesión de aproximantes a la función zeta de Riemann en el semiplano Rez<-1, lo que proporciona un interés mayor por el estudio de sus propiedades. Además, como se estudia en los primeros capítulos de esta tesis, la función 1+2^z+...+n^z está íntimamente relacionada con las soluciones (y con algunas de sus propiedades) de la ecuación funcional f(z)+f(2z)+...+f(nz)=0, utilizada para algunos valores de n con el objetivo de modelizar algunos fenómenos físicos relacionados con la combustión en motores de hidrógeno. Se introducen también a lo largo de este trabajo algunas ecuaciones diferenciales de Euler relacionadas con la ecuación funcional f(x)+f(2x)+...+f(nx)=0 y algunos operadores definidos sobre ciertos espacios vectoriales que caracterizan las soluciones de dichas ecuaciones funcionales. Por otra parte, además de determinar la densidad de los ceros de la función 1+2^z+...+n^z sobre la banda crítica donde están situados, a lo largo de esta tesis se prueba la existencia de un conjunto infinito de rectángulos dentro de la banda crítica para los cuales se establece una fórmula exacta sobre el número de ceros en ellos. Finalmente se generalizan los principales resultados obtenidos tanto a los polinomios exponenciales como a las funciones casi periódicas, extendiendo así su importancia.