Spin physics in two-dimensional systems

Resumen

En esta tesis se han estudiado, desde una perspectiva teórica, tres aspectos fundamentales de la materia condensada y la nanociencia: el Grafeno, los Aislantes Topológicos y la Espíntronica. Como veremos a continuación, cada uno de estos temas de investigación están relacionados entre sí. El campo de investigación que más se ha trabajado en esta tesis es el grafeno. Este material consiste en una capa de carbono de tan solo un átomo de espesor, siendo el primer material estrictamente bidimensional que se descubrió. Esto supuso una revolución, ya que hasta el año 2004, año en el que Andre Geim y Kostantine Novoselov descubrieron el grafeno, se pensaba que no podía existir orden cristalino en sistemas de dos dimensiones. La región de bajas energías del espectro energético en el grafeno está gobernado únicamente por los orbitales pz, debido a la hibridización sp2 de los átomos de carbono. Por lo tanto, un modelo tight-binding considerando únicamente estos orbitales, es suficiente para describir con muy buena aproximación la estructura de bandas de este material. Con esta aproximación se puede comprobar que el grafeno es un semiconductor de gap cero, donde las bandas de conducción y valencia se tocan en dos puntos de la zona de Brillouin inequivalentes, K y K'. La dispersión de las bandas en un entorno cercano a estos puntos es además lineal, de tal manera que los electrones cerca del nivel de Fermi se comportan como fermiones relativistas sin masa, obedeciendo a la ecuación de Dirac en lugar de la ecuación de Schrödinger. El grafeno posee un gran número de propiedades interesantes, tanto ópticas como mecánicas, térmicas o eléctricas. Éstas últimas son las que han hecho que el grafeno haya sido uno de los materiales más estudiados durante los últimos diez años. Cabría destacar la gran movilidad que poseen los electrones en este material y la presencia de efecto Hall cuántico incluso a temperatura ambiente. Por todo ello, este material se está convirtiendo en parte esencial del desarrollo tecnológico, especialmente para dispositivos electrónicos y ópticos. Por otra parte, existen formas alotrópicas del carbón que se basan en grafeno, como los fullerenos, que son moléculas con diversas formas geométricas que se derivan de una lámina de grafeno. Entre ellos destacan los nanotubos, que se forman enrollando una lámina de grafeno por una determinada dirección, y los buckminsterfullerenes que se crean a partir de un patrón dibujado en grafeno el cual se dobla uniendo todas sus extremos sobre sí mismo. Otro ejemplo de sistema basado en grafeno son las cintas. Estas estructuras unidimensionales se crean al cortar el grafeno en una determinada dirección y se caracterizan por el tipo de borde que poseen, ya que condiciona sus propiedades eléctricas. Los bordes de las cintas se pueden clasificar en tres categorías: 1) zigzag si la dirección periódica es la de un vector de la red del grafeno, 2) armchair o 3) chirales, que son todas aquellas estructuras cuya dirección cristalográfica viene dada por un vector de la red arbitrario. Obtener este tipo de estructuras con una cristalinidad perfecta ha sido complicado por dos motivos: 1) la estabilidad del borde es frágil y puede sufrir reconstrucciones, 2) las técnicas que existían no eran capaces de cortar grafeno con elevada precisión. Sin embargo, en los últimos años se han desarrollado técnicas capaces de crear cintas con bordes perfectamente cristalinos a partir de otras moléculas. Si bien el grafeno fue el primer material bidimensional en descubrirse, no ha sido el único. Usando la misma técnica con la que se obtuvo el grafeno, la técnica de micromecanical cleavage, se pudieron obtener otros cristales bidimensionales a partir de materiales laminares tales como Bi2Se3, MoS2 o BN. Por otro lado, otra manera de fabricar materiales con esta dimensionalidad es modificando químicamente los ya existentes. El primer ejemplo de este tipo de materiales fue el grafano, que consiste en una capa de grafeno completamente recubierta por hidrógeno, cuyas propiedades eléctricas son totalmente diferentes a las del grafeno. El segundo de los aspectos fundamentales estudiados en esta tesis son los aislantes topológicos. Estos aislantes son materiales que presentan una nueva fase topológica similar a la fase Hall cuántica, pero sin la necesidad de introducir campos magnéticos que rompan la simetría de inversión temporal. Estos materiales, que pueden darse tanto en sistemas bidimensonales como en tridimensionales, se comportan como aislantes en volumen pero presentan estados metálicos de superficie donde el momento y el espín del electrón están entrelazados. Debido a que la simetría de inversión temporal se conserva, estos estados helicoidales son pares de Kramers que están protegidos topológicamente frente a desorden no magnético, de tal manera que el backscattering dentro de estados helicoidales de un mismo borde está prohibido. De hecho, esta robustez de los estados de superficie es la característica que muestra la condición de fase topológica en estos materiales. La topología en este contexto se refiere al espacio de Hamiltonianos de Bloch equivalentes que mapea la primera zona de Brillouin. Las condiciones periódicas de la zona de Brillouin bidimensional definen una superficie topológica llamada Toro. A cada punto de esta superficie, podemos asignarle un Hamiltoniano, o equivalentemente, el conjunto de autoestados ocupados del Hamiltoniano en ese punto, con energías. Estos estados están definidos salvo una fase global, teniendo así una simetría U(N) que define una clase de equivalencia en el espacio de Hilbert. Así, la clase de equivalencia U(N) de los autoestados ocupados parametrizados por el vector de onda en un toro, que además cumplan la ligadura de invariancia temporal, definen un espacio topológico que se caracteriza por el índice Z2. El significado físico de este índice está relacionado con el número de pares de Kramers al nivel de Fermi. Si hay un número par de pares de Kramers, el sistema es un aislante trivial con Z2=0, sin embargo, si el número es impar, el sistema es un aislante topológico con Z2=1. Se ha demostrado que para sistemas tridimensionales existe más de un número Z2 , aunque tan sólo uno es el que índica la robustez global del sistema. Este estado de la materia fue predicha por primera vez en sistemas bidimensionales, a los que también se llama aislantes Hall cuánticos de espín. C. Kane y E. Mele propusieron en 2005 al grafeno como primer aislante Hall cuántico de espín. Sin embargo el gap producido por el espín-orbita del carbón es tan pequeño que no permite la observación experimental de esta fase. Es por este motivo que la fase topológica del grafeno se considera un modelo muy útil para aprender toda la física relacionada con los aislantes Hall cuánticos de espín, pero que difícilmente podrá ser utilizado para aplicaciones. Posteriormente se predijeron otros materiales donde sí se ha podido observar esta fase topológica, tales como los pozos cuánticos de HgTe o sistemas tridimensionales como BixSb(1-x) o Bi2Te3. En esta tesis nos hemos centrado en el estudio de aislantes Hall cuánticos de espín, estudiando por un lado posibles efectos externos que puedan romper la fase topológica como curvatura y reconstrucciones, y por otro lado, buscando nuevos sistemas que exhiban esta fase y sobre los que se pueda trabajar para lograr aplicaciones basadas en esta propiedad. Por último, el tercer aspecto que se ha investigado en este trabajo es la espíntronica. Esta rama de la nanociencia pretende introducir el espín de los electrones como elemento activo en los dispositivos electrónicos, de manera análoga a lo que es la carga eléctrica en los dispositivos actuales. Es necesario hacer la apreciación de que en este trabajo nos referimos al espín como espín de un único electrón así como a la magnetización creada por los espines de un conjunto de electrones. Para ser capaces de crear un dispositivo espintrónico debemos en primer lugar, ser capaces de preparar y manipular el estado inicial de espín de un sistema. En segundo lugar, conseguir que un estado de espín definido permanezca durante un periodo de tiempo lo suficientemente largo para poder realizar operaciones con dicho estado, o transportarlo sin que pierda la información codificada. En tercer y último lugar, ser capaces de detectar el estado final del espín. El grafeno parece un buen candidato sobre el cual desarrollar este tipo de tecnología. Por un lado, es un material activo, debido a que podemos preparar los espines de los electrones dentro del propio grafeno haciendo uso del orden magnético de los bordes zigzag o la magnetización creada por una vacante. Por otro lado, debido a su bajo acoplo espín-órbita e interacción hiperfina, hacen que este sistema sea buen candidato para almacenar o transportar el espín sin variar su estado inicial. Sin embargo, la mayoría de los experimentos muestran unos tiempos de vida medio de espín mucho menores de lo que se esperaba. Para explicar esta discrepancia entre experimentos y teoría, se han propuesto numerosas posibles fuentes de relajación de espín, tanto intrínsecas como extrínsecas al grafeno. Las interacciones que producen esta relajación son: el acoplo espín-órbita, la interacción hiperfina y la interacción de intercambio entre electrones y huecos. La más relevante suele ser la interacción espín-órbita que produce dos tipos distintos de mecanismos de relajación: 1) el mecanismo Elliot-Yafet, que se produce debido a que el espín del electrón deja de ser un buen número cuántico en presencia del acoplo espín-órbita, de manera que los autoestados del Hamiltonaino son en realidad una combinación lineal de las dos proyecciones de espín. 2) El mecanismo D'yakonov-Perel', que aparece en sistemas donde no se conserva la inversión de simetría y por lo tanto se genera un acoplo Rasbha que simula un campo magnético que depende del momento del electrón, en el cual, el espín gira. Desarrollo teórico La mayoria de los cálculos realizados en esta tesis se basan en calculos tight-binding en la aproximación de Slater-Koster, por ello vamos a describir los aspectos fundamentales de la metodología aquí empleada. El método tight-binding se basa en resolver la ecuación de Schrödinger de una única partícula, utilizando los orbitales atómicos como base ortogonal del espacio de Hilbert para representar los operadores, y dejando como parámetros a determinar las integrales que evalúan los elementos de matriz del Hamiltoniano. El número de integrales a evaluar se reduce drásticamente al considerar la aproximación de Slater y Koster que desprecia las integrales a tres cuerpos. Una de las ventajas de este método es la posibilidad de estudiar sistemas con gran número de átomos, ya que obtener el Hamiltoniano y la estructura electrónica resulta computacionalmente económico. Por otra parte esta metodología permite incluir de una manera sencilla un gran número de interacciones tales como el acoplo espín-órbita o acoplos con campos eléctricos y magnéticos externos, pudiendo así estudiar una gran variedad de fenómenos. Incluso, se pueden incluir correcciones autoconsistentes como las que establece la conservación de la neutralidad de carga local, con las que se pueden obtener resultados más realistas. En esta tesis, además, se ha estudiado el transporte coherente a través de cintas de distintos materiales. Para el cálculo de la conductancia se ha utilizado el formalismo de Landauer y de funciones de Green fuera del equilibrio. En esta metodología el sistema se divide en tres partes, una región central en la que se produce la dispersión de los electrones, y dos electrodos semi-infinitos por donde los electrones pueden entrar y salir del sistema. Para calcular los Hamiltonianos de cada una de las partes del sistema y las matrices de hopping entre ellas, se ha utilizado el formalismo tight-binding mencionado anteriormente. De esta manera hemos podido estudiar la robustez de la conductancia en los aislantes Hall cuánticos de espín. 2.1 Herramientas computacionales Una parte esencial del trabajo realizado en este periodo de investigación, ha sido desarrollar una herramienta computacional llamada SKA. Este código escrito en FORTRAN 77, calcula la estructura electrónica en sistemas de cualquier dimensionalidad, desde clúster (0D) hasta cristales tridimensionales (3D), con un método tight-binding ortonormal y autoconsistente en la aproximación Slater-Koster. Este código también tiene en cuenta diversas interacciones de los electrones tales como el acoplo espín-orbita intra-atómico, el acoplo con un campo eléctrico externo y el acoplo con un campo magnético externo, en este último caso, considerando ambos efectos: el acoplo con el espín de los electrones mediante un término Zeeman y el acoplo orbital a través de la sustitución de Peierls. Gracias a la versatilidad de esta herramienta, se han podido calcular diferentes propiedades electrónicas como la estructura electrónica, la polarización de espín o la densidad de estados local en una gran variedad de sistemas. Alguno de los sistemas que he estudiado durante esta tesis son: 1) grafeno, 2) bicapa de grafeno, 3) bicapa de Bi(111) y Sb(111), 4) multicapas de Bi(111) y Sb(111), 5) grafano, 6) grafeno sobre níquel 7) nitruro de boro (BN). Otras estructuras unidimensionales estudiadas son los nanotubos de carbono y las nanocintas con diferentes tipos de borde hechas de grafeno, Bi(111), Sb(111) o nitruro de boro. Para los cálculos de transporte cuántico, se ha desarrollado una versión llamada SKA1D que está basada en el anterior programa, y que actúa como interfaz para el código de transporte electrónico ANT.1D desarrollado por David Jacob. El código SKA1D tan sólo considera estructuras unidimensionales, y a su vez, genera los Hamiltonianos en el esquema básico de partición dividiendo el sistema en electrodos y dispositivo. Se pueden incluir las interacciones antes mencionadas, tanto al dispositivo como a los electrodos y además introducir desorden Anderson. Por su parte ANT.1D implementa el formalismo de Landauer con funciones de Green para calcular, entre otros, la conductancia en sistemas unidimensionales. De esta manera, SKA1D genera los Hamiltonianos con el método tight-binding que posteriormente ANT.1D utiliza como inputs. Conclusiones: - Relación entre curvatura e interacción espín-órbita en cintas de grafeno En esta parte de la investigación nos hemos centrado en los efectos que produce la curvatura en la estructura electrónica en cintas de grafeno zigzag y armchair, y además, nos hemos interesado especialmente por los efectos sobre los estados de borde helicoidales, típicos de la fase Hall cuántica de espín. Para realizar este estudio es necesario incluir en nuestros cálculos todos los orbitales de valencia del carbono, tanto los p como los s. Los resultados obtenidos para las cintas de grafeno plano con un método tight-binding de cuatro orbitales por átomo, e incluyendo la interacción espín-orbita, dan resultados similares a los de un modelo con un único orbital incluyendo la interacción Kane-Mele. Es interesante resaltar que en cintas de grafeno armchair planas, donde no existen estados de borde iniciales, es la interacción espín-órbita la que los tiene que crear. Este hecho se observa claramente para las cintas armchair metálicas y semiconductoras, sin embargo en estas últimas, el gap no se llega a cerrar debido a la hibridización finita entre los estados de bordes diferentes. En primer lugar analizamos los efectos que produce un doblamiento transversal de las cintas de grafeno sin considerar la interacción espín-órbita. En el caso de cintas zigzag curvadas, observamos que las bandas planas de los estados de borde adquieren dispersión, rompiendo así la simetría electrón-hueco. Este hecho nos indica que la curvatura introduce un acoplo efectivo a segundos vecinos entre orbitales p de los átomos de carbono. En cambio, para las cintas de grafeno armchair curvadas no se observan grandes diferencias en la estructura electrónica al nivel de Fermi. Una vez hecho esto pasamos a considerar los efectos de la interacción espín-órbita sobre estas estructuras curvadas. Para el caso de las cintas zigzag, las cuatro bandas degeneradas correspondientes a los estados de borde se separan. Sin embargo, la topología de estas bandas es distinta a la de Kane-Mele, pero podemos recuperar la dispersión lineal de estos estados substrayendo los efectos de la curvatura. Usando estas bandas linealizadas se aprecia de forma evidente que la curvatura aumenta los efectos de la interacción espín-órbita. En el caso de las cintas zigzag, la pendiente de las bandas de los estados de borde, o equivalentemente, el intervalo de energía en la que existen estos estados, cambia. Para cintas planas, este intervalo de energía es del orden de 0.1 meV y aumenta hasta decenas de meV en el caso de ribbons curvados, con radios de curvatura similares a las de nanotubos de carbono. En este trabajo se ha demostrado que la pendiente de los estados de borde es inversamente proporcional al radio de curvatura y lineal con la interacción espín-órbita. Por otro lado, en el caso de cintas armchair también se ha observado que la curvatura aumenta el gap producido por la interacción espín-orbita. La presencia de curvatura en grafeno rompe la simetría de inversión (z ¿ -z) e introduce un acoplo espín-órbita efectivo de tipo Rashba que desdobla las bandas con diferente espín. Este efecto se ha observado para las bandas de volumen, sin embargo los estados de borde no muestran este desdoblamiento y parecen ser insensibles a este tipo de acoplo efectivo. Los estados filtrados de espín característicos de la fase Hall cuántica de espín sobreviven en los ribbons curvados. Sin embargo, el eje de cuantización deja de ser perpendicular al plano del grafeno y adquiere un ángulo no trivial, que depende del radio de curvatura de la cinta y de la interacción espín-órbita. En principio, se podría pensar que la conductancia en ribbons de grafeno curvados estaría sobreprotegida al backscattering entre distintos bordes, porque la proyección de espín de cada estado es diferente. Sin embargo, este estudio demuestra que el transporte eléctrico en cintas curvadas es idéntico al de las planas. - Reconstrucciones del borde de cintas de grafeno y la fase Hall cuántica de espín En las cintas zigzag de grafeno, la estructura cristalina del borde es inestable debido a los electrones desapareados de los átomos del borde. Para estabilizar el sistema, los átomos del borde se reorganizan en una sucesión de heptágonos y pentágonos, de esta manera se auto-pasivan estos electrones desapareados y se estabiliza el sistema. A este nuevo tipo de borde se le conoce por el nombre de reczag. En esta parte del trabajo hemos estudiado cómo esta reconstrucción afecta a la estructura electrónica y a los estados de borde filtrados de espín de la fase Hall cuántica de espín en grafeno, considerando un gran acoplo espín-órbita. Este tipo de reconstrucción rompe la simetría de subred del grafeno, por lo que el pseudoespín del electrón deja de ser un buen número cuántico. Por este motivo, la interacción Kane-Mele no puede aplicarse a los átomos del borde. Por lo tanto, para analizar los efectos de la reconstrucción sobre la estructura electrónica es necesario recurrir a un modelo tight-binding con cuatro orbitales por átomo e incluir la interacción espín-órbita intra-atómica. En primer lugar se ha estudiado la estructura electrónica en cintas con bordes reconstruidos sin tener en cuenta la interacción espín-órbita. Se ha mostrado que las bandas planas al nivel de Fermi, típicas de los estados de borde de las cintas zigzag, adquieren dispersión cuando los bordes se reconstruyen, debido a que se rompe la simetría de subred, y como consecuencia la simetría electrón-hueco. Además, otro efecto de la reconstrucción es la aparición de nuevos estados de borde por encima y por debajo del nivel de Fermi. A continuación, se ha incluido la interacción espín-órbita en cintas de grafeno con bordes reczag, para así estudiar los efectos de esta reconstrucción sobre las propiedades topológicas de la fase Hall cuántica de espín en grafeno. Se ha observado que el desdoblamiento de las bandas es despreciable a valores realistas de la interacción espín-órbita, por lo que es necesario incrementar en la fuerza de este acoplo para poder observar un desdoblamiento significativo. Además, la dispersión de los estados de borde helicoidales no sigue la tendencia lineal predicha por C. Kane y E. Mele, sino que las bandas se curvan, llegándose a formar incluso un anticruce entre ellas, en su recorrido al unir las bandas de conducción y de valencia del grafeno. De esta manera el número de canales de conducción en el gap producido por el espín-órbita aumenta de uno a tres. El cambio de la topología de las bandas debido a la reconstrucción puede ser entendido en términos del carácter de subred de los estados de borde. En el grafeno, el pseudoespín o subred es un buen número cuántico bien definido, sin embargo, la creación de heptágonos y pentágonos en el borde hace que no se pueda etiquetar estos átomos con el pseudoespín. Los estados de borde helicoidales en un ribbon zigzag unen las bandas de conducción y valencia preservando el pseudoespín. Sin embargo, en una cinta reconstruida, los estados helicoidales no sólo no tienen un pseudospín bien definido, sino que además varía a lo largo de su recorrido por la zona de Brilloin, llegando a invertir el carácter de subred del estado helicoidal en las regiones más cercanas al borde de zona. De esta manera, dependiendo de qué carácter de subred tenga la banda, su dispersión será positiva ó negativa. Una consecuencia directa del cambio en la estructura de bandas debido a la reconstrucción es que la fase topológica del grafeno está enmascarada. La reconstrucción, tal y como cabría esperar al ser un efecto de borde, no altera la fase topológica del grafeno, ya que el número de estados al nivel de Fermi tras la reconstrucción sigue siendo impar. Sin embargo, uno de estos pares de Kramers se sitúa muy cerca del punto de Dirac, donde los estados de borde dejan de ser puramente de borde y se convierten en estados de volumen. Como consecuencia, la longitud de penetración de este estado es muy superior a la de un estado de borde de una cinta zigzag a la misma energía, y por lo tanto, tendrá más probabilidad a producir backscattering entre estados de bordes opuestos. Este hecho ha sido contrastado numéricamente calculando la conductancia en presencia de desorden de Anderson para una cinta con bordes reconstruidos, obteniendo que el transporte en esta estructura no está topológicamente protegido. Otro efecto interesante relacionado con el cambio de la estructura de bandas, es la inversión de la relación entre espín y velocidad, i.e. la helicidad, de los estados de borde cerca del punto G. Este efecto es especialmente relevante en la unión entre una cinta zigzag y otra reconstruida en presencia de desorden no magnético, donde dos de los tres canales de la cinta reconstruida se deberían localizar, y sobrevivir únicamente aquel que se encuentra próximo al punto G, ya que en este punto el desorden no puede abrir ningún gap por estar protegido por la simetría de inversión temporal. De esta manera, en este tipo de frontera predecimos un cambio en la corriente tan sólo provocado por el salto de un tipo de cinta al otro. Para poder preservar la cuantización de la conductancia los estados de borde tienen que atravesar todo el volumen de la cinta para unirse con sus compañeros con la misma dirección y proyección de espín. Este efecto ha sido comprobado numéricamente calculando la conductancia a través de una frontera zigzag-reczag, obteniendo que la conductancia baja por debajo de un 1G0 en una ventana de energías cercana del nivel de Fermi, donde existe un pequeño gap en el anticruce de los bandas de borde de la cinta reczag, y por lo tanto, cada cinta tiene un sólo par de estados de borde pero con helicidades opuestas. - Transporte electrónico topológicamente protegido en nanocontactos de bismuto En esta parte del trabajo se ha estudiado el transporte electrónico a través de nanocontactos de Bismuto. Experimentalmente, en las curvas de conductancia frente a desplazamiento, se ha observado que en ocasiones aparecen plateaus largos en un cuanto de conductancia en condiciones ambiente. También se han observado varios plateaus subcuánticos en las últimas etapas antes de romper los contactos átomicos, tanto a temperatura ambiente como a 4 K. Estos resultados no responden al comportamiento típico de otros metales en experimentos de nanocontactos. En este trabajo se da una explicación a estas propiedades de los nanocontactos de bismuto, suponiendo que el transporte electrónico en este sistema es a través de un aislante Hall cuántico de espín. En particular, se propone que en el proceso de ruptura del contacto se exfolia una capa de bismuto (111) que es un aislante Hall cuántico de espín, de tal manera que para pasar de un electrodo al otro, los electrones deben atravesar esta capa de bismuto. La principal característica de un aislante Hall cuántico de espín es la existencia de estados de borde robustos que se comportan como un único canal cuántico. En este trabajo, se demuestra que aunque un aislante Hall cuántico de espín posea varios canales de conducción, tan solo uno es el que está protegido topológicamente y es robusto frente a desorden no magnético. Para demostrar la hipótesis inicial se calcula el transporte electrónico a través de cintas de Bi(111) en una gran variedad de situaciones. En primer lugar se estudian constricciones de distintas geometrías en cintas de Bi(111) con bordes zigzag y armchair. Estas constricciones pretenden emular el proceso de ruptura del nanocontacto, permitiendo estudiar la evolución de la conductancia al nivel de Fermi en función del número de átomos en la sección central de la constricción. En todos ellos se puede ver que la conductancia es 3G0 para un ribbon perfecto, y que rápidamente cae a valores cercanos a 1 G0 cuando se le substraen un par de átomos de los bordes. Esta situación es robusta hasta que tan solo queden 3 ó 4 átomos en la región central, de tal manera que los estados de un borde pueden interaccionar con los del borde opuesto dando lugar a backscattering, reduciendo así su contribución a la conductancia. Este resultado es poco dependiente de la geometría y explicaría los plateaus subcuánticos antes de la ruptura. Este estudio de constricciones también se ha realizado en antimonio, un material muy similar al bismuto, pero con la diferencia de que una capa (111) de antimonio no es un aislante Hall cuántico de espín. Se ha estudiado este material porque también muestra plateus subcuánticos en experimentos de nanocontactos, aunque no se ha llegado a registrar ningún plateaus robusto en un cuanto de conductancia. Por ello nos preguntamos si el mecanismo de ruptura propuesto anteriormente puede explicar también estos resultados. Los cálculos realizados en este trabajo muestran que, al contrario que el bismuto, la conductancia no está cuantizada, y que el hecho de eliminar un par de átomos de los bordes ya es suficiente para obtener conductancias por debajo de G0. Por lo tanto, la hipótesis aquí barajada también podría explicar los resultados experimentales en antimonio, aunque haría falta un análisis más profundo tanto teórico como experimental. En segundo lugar se ha estudiado la robustez de la fase topológica bajo el efecto de fuerzas de estiramiento y compresión, análogas a las fuerzas que se ejercen sobre el nanocontacto en este tipo de experimentos. Para realizar este estudio se ha calculado la estructura de bandas de una cinta de bismuto zigzag cambiando el parámetro de red en todas las direcciones del plano del bismuto (111). De esta manera se ha demostrado, por un lado, que una fuerza que estira la lámina hace que el sistema sea más robusto frente al desorden al aumentar el gap y por otro, que para que haya una transición de fase topológica es necesario que existan fuerzas que contraigan el parámetro de red en un 20%. Por último, también se ha considerado el efecto de un campo magnético externo sobre una capa de bismuto (111). Con ello se pretendía estudiar los efectos de una interacción que rompe la simetría de invariancia temporal sobre la robustez de la conductancia en un aislante Hall cuántico de espín. En particular, se ha estudiado la evolución de la conductancia al nivel de Fermi en función del campo magnético externo aplicado para una cinta zigzag de Bi(111). Con este estudio se ha llegado a la conclusión de que son necesarios valores de campo magnético del orden de 100T para que la cuantización de la conductancia deje de ser robusta. Además, también se ha estudiado la evolución de la estructura electrónica de una bicapa de Bi(111) en función del campo magnético aplicado. - Relajación de espín debido al acoplo electrón fonón flexural en grafeno En esta sección se ha demostrado que las distorsiones fuera del plano del grafeno, como pueden ser los fonones flexurales o la propia ondulación intrínseca del grafeno, producen un mecanismo que permite invertir el espín de los electrones. Debido a la naturaleza de las distorsiones, esta es una fuente de relajación de espín inevitable. El origen de este mecanismo de relajación de espín se encuentra en el acoplo a primer orden de los electrones con la interacción espín-órbita y el campo flexural. La interacción espín-órbita acopla los orbitales p con los s invirtiendo el espín de estos. De la misma manera, la curvatura también acopla ambos tipos de orbitales. La combinación de ambos procesos permite un acoplo efectivo entre orbitales p que da lugar a la relajación de espín. Este acoplo es análogo a la interacción Rasbha que surge en el grafeno al romper la simetría de inversión. Para calcular el tiempo de relajación de espín asociado a este mecanismo, primero se ha deducido la expresión del acoplo electrón-fonón flexural en la aproximación tigth-binding, y posteriormente se ha calculado la tasa de relajación de espín debido a este acoplo usando la regla de oro de Fermi. La obtención de ambas expresiones es en sí uno de los resultados principales de este trabajo. Utilizando esta metodología se ha obtenido un tiempo de relajación de espín del orden de microsegundos, varios órdenes de magnitud superior al observado experimentalmente. Este resultado indica que los procesos de relajación de espín intrínsecos son menos efectivos que los extrínsecos. De esta manera se cree que los mecanismos de relajación de espín que gobiernan los experimentos son de carácter extrínseco. Por lo tanto, el mecanismo propuesto en este trabajo establece un límite superior que será relevante cuando las muestras de grafeno se puedan preparar evitando todas las posibles causas de relajación de espín extrínsecas tales como impurezas, inhomogeneidades del substrato o momentos magnéticos extrínsecos. Este límite, sin embargo, no es universal, ya que su valor preciso depende del entorno mecánico, que determina el comportamiento del campo flexural a largas longitudes de onda. Además, a temperatura ambiente, el tiempo vida de espín del electrón en grafeno muestra una marcada dependencia con la dirección del momento, el valle y el eje de cuantización del espín.