Desarrollo de la comprensión del concepto de límite de una función. Características de trayectorias hipotéticas de aprendizaje

Resumen

En esta tesis doctoral tratamos de observar a través de un experimento de enseñanza cómo se construye el conocimiento del límite de una función de variable real en estudiantes de bachillerato. El primer encuentro que los estudiantes tienen con la concepción de límite de una función es a través de la idea de aproximación (Cornu, 1991) y mediante la concepción dinámica del límite (Blázquez y Ortega, 2002). Esta manera de abordar la idea de límite influye en la comprensión de la concepción métrica (Blázquez, Ortega, Gatica y Benegas, 2006). No obstante, Cottrill y otros (1996) indican que la concepción dinámica del límite es relativamente complicada para los estudiantes y parece que dificulta la comprensión métrica. Además, señalan que para adquirir una idea formal de límite, éste se debe visualizar, y para ello el estudiante debe ser capaz de relacionar lo que sucede en el dominio con lo que sucede en el rango a través de la función. La comprensión en matemáticas tiene que ver con la habilidad para usar el pensamiento visual y el analítico, sin embargo, en lo referente al Cálculo los estudiantes parece que tienen una fuerte tendencia a pensar analíticamente más que visualmente. Actualmente, gracias a las posibilidades de interacción y dinamismo que ofrecen las tecnologías, se han hecho nuevas propuestas didácticas para introducir los conceptos básicos del Cálculo a partir de herramientas tecnológicas con objeto de liberar a los estudiantes de realizar manipulaciones algebraicas y cálculos laboriosos. Las nuevas tecnologías desde las calculadoras hasta los ordenadores permiten centrar la atención en la identificación de representaciones diferentes y equivalentes de un mismo concepto que ayudan a mejorar su comprensión. Entender qué significa conocer un objeto matemático y cómo los estudiantes desarrollan dicho conocimiento, ayuda a pensar sobre la enseñanza con la finalidad de favorecer estos procesos. El objetivo es describir los procesos por los cuales se desarrolla la comprensión del contenido matemático y los mecanismos que intervienen en ellos. En este contexto de investigación proporcionamos características de los procesos de aprendizaje del concepto de límite de una función y presentamos una Trayectoria Hipotética de Aprendizaje para tomar decisiones en la enseñanza. El experimento aplica las nuevas tecnologías con soporte informático en una situación de enseñanza, para ayudar a los alumnos a construir sus aprendizajes en el tópico límite, analizando la influencia de los distintos modos de representación en la coordinación de los procesos de aproximación en el dominio y en el rango a través de una función. Nuestro trabajo se estructura en cinco capítulos. En el primero se describe la problemática de la investigación revisándolas en el campo de Didáctica de la Matemática y haciendo un breve repaso histórico de la noción de límite desde Newton hasta nuestros días. Se caracteriza el límite de una función real de variable real en el ámbito curricular de la educación secundaria post obligatoria en la Comunidad Valenciana. Después se aborda el límite de una función real de variable real como ámbito de investigación tras el filtro de la revisión bibliográfica previa, así como la influencia de la enseñanza y aprendizaje en relación a la comprensión del límite. La abstracción se muestra como el proceso clave en la emergencia y construcción de estructuras matemáticas. No parece haber consenso sobre un único significado de la abstracción, de forma que los procesos constructivos han sido caracterizados de diferentes maneras en la literatura, por lo que puede examinarse desde diferentes perspectivas y en las que la habilidad de abstraer es una destreza importante para el aprendizaje de las matemáticas. En el segundo capítulo, describimos el marco teórico que Simon y Tzur (2004) denominan Reflexión sobre la Relación Actividad-Efecto para dar cuenta del proceso de Abstracción Reflexiva (Piaget y García, 1982). A partir de este marco teórico hemos definido una trayectoria hipotética de aprendizaje y nos hemos planteado las preguntas de investigación. En el tercer capítulo se describe la situación didáctica, el contexto educativo y los sujetos que participaron en la investigación, describimos el diseño del experimento de enseñanza y las actividades haciendo referencia a la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje del concepto de límite de una función real en un punto. En el cuarto capítulo presentamos los resultados de investigación. Describimos 2 perfiles de las características del proceso de construcción del significado de la idea de límite en un entorno de aprendizaje que favorece la complementariedad entre las concepciones estáticas y dinámicas y las relaciones entre los diferentes modos de representación. En el quinto capítulo, presentamos las conclusiones y discutimos los resultados obtenidos. Identificamos algunas características de la trayectoria de aprendizaje desde la perspectiva teórica de la abstracción reflexiva del concepto de límite y considerando algunos aspectos que podrían tenerse en cuenta en futuras investigaciones así como las limitaciones que pudiera tener nuestra investigación referidas a la construcción del concepto de límite de una función real en un punto en estudiantes de bachillerato.