Teoremas de convergencia y de comparación para particiones y multiparticiones

Resumen

Para la resolución del sistema lineal Ax=b, donde A es en general un operador acotado no singular en un espacio de Banach, x es el vector de incógnitas y b es un vector dado, es bastante usual considerar el esquema iterativo secuencial asociado a una partición A=M - N, con M no singular, En esta memoria se presentan condiciones necesarias y suficientes para que el radio espectral del operador de iteración M elevado -1N sea estrictamente menor que uno, o lo que es equivalente, que el esquema iterativo secuencial converja a la solución única del sistema Ax=b, dependiendo del tipo de partición considerada: regular, no negativa, débil no negativa del primer tipo, débil no negativa del segundo tipo, débil del primer tipo, débil del segundo tipo, P-regular, débil definida no negativa del primer tipo y débil definida no negativa del segundo tipo. Dadas dos particiones A= M sub1 - N sub1 = M sub2 - N sub2 del operador A también se ablecen condiciones que permite comparar el valor del radio espectral de los respectivos operadores de iteración de cada una de ellas para los distintos tipos de particiones antes mencionadas. Además se introducen una serie de relaciones entre las distintas condiciones de comparación presentadas. Para aquellas condiciones de comparación en las que aparecen operadores adjuntos, se considera que se trabaja en un espacio de Hilbert en lugar de un espacio de Banach. Lo mismo ocurre para las condiciones de convergencia y comparación de particiones P-regulares y débiles definidas no negativas del primer y del segundo tipo. Por otra parte, para el caso particular en el que A sea una matriz se establecen condiciones necesarias y suficientes de convergencia y de comparación del esquema iterativo paralelo asociado a una multipartición (M subl, N subl, E subl) elevado p, sub l=1, donde para l=1...p, A=M subl - N subl es una partición de A, E subl igual 0 es una matriz diagonal y E subp= I.