Métodos de diferencias finitas para la solución numérica de modelos de difusión y conducción del calor con retardo

Resumen

Las ecuaciones diferenciales constituyen una de las herramientas básicas de la modelización matemática. Existen numerosos problemas reales en los que el comportamiento del sistema depende, aunque sea en parte, de su historia previa, de modo que para poder modelizar estos procesos es necesario utilizar ecuaciones diferenciales funcionales (EDF). En particular, las ecuaciones diferenciales con retardo (EDR) y las ecuaciones en derivadas parciales con retardo (EDPR) han merecido un especial interés, desde los inicios del estudio de las EDF hasta los trabajos más recientes, debido a que recogen las características esenciales de los procesos en los que existen efectos hereditarios o retardados, encontrando multitud de aplicaciones en problemas y campos muy diversos. Una de las herramientas clásicas para la obtención de soluciones numéricas de ecuaciones en derivadas parciales (EDP) es la utilización de esquemas en diferencias finitas, que permiten obtener una solución aproximada del problema mediante la resolución de ecuaciones en diferencias finitas. En los últimos años, dentro del grupo de investigación sobre Ecuaciones diferenciales con retardo de la Universidad de Alicante se han desarrollado trabajos en esta línea, así como en la obtención de soluciones exacatas de EDPR mediante el método de separación de variables, concretados en tres tesis doctorales ya presentadas y diversas publicaciones. Con esta tesis se pretende avanzar en la obtención de esquemas en diferencias que pueden ser de interés en las aplicaciones en la modelización de procesos de difusión y conducción del calor en los que se presentan efectos retardados. El objetivo general planteado para esta tesis ha sido la obtención de métodos en diferencias finitas para la obtención de soluciones numéricas de modelos de difusión y de conducción del calor con retardo. Dado el enorme interés registrado en los últimos años por los modelos no clásicos de conducción del calor, debido a la necesidad de considerar fenómenos de conducción del calor a nivel de microescala en diversas aplicaciones técnicas recientes (láseres ultrarrápidos, nanofluidos, etc…) entre los objetivos de esta investigación ha estado la obtención de esquemas en diferencias para algunos de los modelos de conducción del calor con retardo, propuestos en la literatura, obtenidos mediante aproximaciones de mayor orden del modelo con retardo de fase dual (Dual Phase Lagging, en adelante DPL) basado en la ley no-Fourier de la conductividad térmica. Asimismo, nos hemos planteado proporcionar esquemas en diferencias para un modelo de difusión con retardo con coeficientes variables dependientes del tiempo, extendiendo así los resultados obtenidos en una tesis previa, permitiendo con ello ampliar el rango de problemas y aplicaciones en los que podrían ser de utilidad resultados similares a los obtenidos en dicha tesis. Esta tesis se ha presentado en la modalidad de tesis por compendio de publicaciones. En ella se han incluido 3 de las publicaciones realizadas a lo largo de la investigación llevada a cabo. Por una parte, se han obtenido dos esquemas en diferencias para la obtención de soluciones aproximadas de los modelos DPL de segundo orden de aproximación. Se ha considerado un modelo general que engloba a los modelos DPL obtenidos mediante aproximaciones de segundo orden en el flujo de calor y de primer o segundo orden en el gradiente de la temperatura. Los resultados han dado lugar a dos publicaciones que constituyen los capítulos 2 y 3 de la tesis. En la publicación recogida en el capítulo 2, utilizando aproximaciones en diferencias finitas de las derivadas implicadas en el modelo, inspiradas en las que dan lugar al esquema de Crank-Nicolson para la ecuación de difusión clásica, se ha deducido un esquema en diferencias para este modelo general. En el artículo recogido en el capítulo 3, considerando aproximaciones compactas de cuarto orden de las derivadas, se ha propuesto un esquema en diferencias finitas compacto con mayor orden de precisión que el esquema anterior. Se ha demostrado la convergencia de los dos esquemas propuestos, expresándolos para ello como esquemas de dos niveles y estudiando la estabilidad y la consistencia. Los algoritmos desarrollados se implementan mediante sistemas de cálculo numérico. Por otra parte, se ha obtenido un esquema en diferencias para la obtención de soluciones aproximadas de un modelo de difusión con retardo con coeficientes variables dependientes del tiempo. Se ha adaptado un esquema en diferencias propuesto en una tesis anterior para la ecuación de la difusión con retardo con coeficientes constantes a la ecuación con coeficientes variables dependientes del tiempo. Se ha demostrado la convergencia del esquema propuesto, expresándolo para ello como esquema de dos niveles y estudiando la consistencia y la estabilidad del esquema transformado mediante la Transformada Discreta Seno. Los resultados obtenidos, y otros en desarrollo, son de utilidad para las aplicaciones de los modelos no clásicos de difusión y de conducción del calor con retardo, abriendo también posibilidades de extender en el futuro estos resultados a modelos aún más generales, sea en los parámetros de los modelos, en variaciones sobre los modelos considerados o en la geometría de los dominios considerados.