Soluciones exactas y numéricas de modelos de difusión con retardo en dominios bidimensionales y no acotados

Resumen

Introducción y motivación Las ecuaciones diferenciales constituyen una de las herramientas básicas de la modelización matemática. Existen numerosos problemas reales en los que el comportamiento del sistema depende, aunque sea en parte, de su historia previa, de modo que para poder modelizar estos procesos es necesario utilizar ecuaciones diferenciales funcionales. En particular, las ecuaciones diferenciales con retardo y las ecuaciones en derivadas parciales con retardo han merecido un especial interés, debido a que recogen las características esenciales de los procesos en los que existen efectos hereditarios o retardados, encontrando multitud de aplicaciones en problemas y campos muy diversos (véase [1]-[8] y las referencias allí incluidas). Uno de los métodos clásicos en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales lineales con coeficientes constantes es el método de separación de variables, que permite reducir el problema a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. En los últimos años, dentro del grupo de investigación sobre Ecuaciones diferenciales con retardo de la Universidad de Alicante se han desarrollado distintos trabajos en esta línea, así como en la obtención de soluciones numéricas de ecuaciones en derivadas parciales con retardo mediante esquemas en diferencias, concretados en tres tesis doctorales ya presentadas y diversas publicaciones ([9]-[15]). Objetivos y resultados En este trabajo de tesis se pretende avanzar en la consideración de dominios más generales que pueden ser de interés en las aplicaciones en la modelización de procesos de difusión y conducción del calor en los que se presentan efectos retardados. El objetivo general planteado en el proyecto de esta tesis fue la obtención de soluciones exactas y analítico-numéricas de ecuaciones generalizadas de difusión con retardo en dominios bidimensionales y no acotados. El interés fundamental era extender los resultados obtenidos en una tesis previa y en trabajos anteriores a dominios más generales de los allí considerados, permitiendo con ello ampliar el rango de problemas y aplicaciones en los que podrían ser de utilidad resultados similares a los obtenidos en dicha tesis. Asimismo, dado el enorme interés registrado en los últimos años por los modelos no clásicos de conducción del calor, debido a la necesidad de considerar fenómenos de conducción del calor a nivel de microescala en diversas aplicaciones técnicas recientes (láseres ultrarrápidos, nanofluidos, etc…) entre los objetivos del proyecto de tesis se incluyó la obtención de soluciones exactas y numéricas para algunos de los distintos modelos de conducción del calor con retardo propuestos en la literatura, que facilitasen el cálculo y el estudio comparativo de las propiedades de los distintos modelos.