Superficies completas de curvatura no positiva

Resum

En primer lugar extendemos el teorema de Efimov a superficies completas del espacio euclídeo tridimensional con borde compacto y para superficies completas sin borde con hipótesis fuera de un subconjunto compacto. Probamos que dichas superficies son parabólicas, tienen topología finita y en el caso de que su curvatura de Gauss esté uniformemente alejada de cero, deducimos que sus finales tienen el mismo comportamiento asintótico que una recta del euclídeo tridimensional. En segundo lugar probamos un teorema para pares de Codazzi sobre superficies abstractas, el cual es, para inmersiones en el euclídeo tridimensional, una versión más general del teorema de Smyth-Xavier, el cual resuelve parcialmente la conjetura de Milnor. A partir de dicho teorema para pares de Codazzi podemos deducir resultados tipo Efimov y tipo Milnor para superficies completas, con y sin borde compacto, inmersas en espacios modelo no euclídeos, como son el espacio hiperbólico tridimensional y la esfera tridimensional. También demostramos que, bajo estas condiciones sobre la curvatura de superficies inmersas en espacios modelo, los finales tienen área finita para la métrica inducida. En tercer lugar probamos que el teorema de Efimov es cierto para grafos completos inmersos en espacios producto del tipo M2xR, donde la base M2 es una variedad bidimensional completa con un polo en uno de sus puntos y de curvatura de Gauss no negativa. Además, construimos ejemplos de superficies de rotación de curvatura constante -1 en el caso de tener curvatura negativa en la base, lo que prueba que el teorema de Efimov no se satisface en este caso. Por último probamos que toda superficie llana completa y embebida en el espacio hiperbólico tridimensional con singularidades aisladas es homeomorfa a una esfera menos una cantidad finita de puntos. Vemos que el tipo conforme de los finales y de las singularidades aisladas es de tipo cónico. Respecto al problema de Weyl mencionado antes, basándonos en los trabajos de Hulín-Troyanov, Alexandrov y Pogorelov, demostramos que una condición necesaria y suficiente para la realización de métricas llanas completas y con singularidades aisladas en el espacio hiperbólico tridimensional es que los órdenes de los finales y de las singularidades cumplan una ecuación de tipo Gauss-Bonnet.