Análisis de la construcción del concepto de integral definida en estudiantes de bachillerato

Resumen

El objetivo de esta investigación es analizar el proceso de construcción del concepto de integral definida desde el marco de la abstracción reflexiva, en estudiantes de Bachillerato (16-18 años) que participaron en un experimento de enseñanza constructivista. En el diseño del experimento de enseñanza se ha tenido en cuenta: las dificultades de los estudiantes para comprender la integral definida como límite porque no entienden adecuadamente el proceso de límite (Orton,1983); la importancia de comprender las sumas de Riemann o de Darboux para resolver situaciones donde aparecen funciones que no tienen primitiva (Sealey, 2014); la necesidad de construir la función integral para entender las relaciones entre las integrales definidas e indefinidas (primitivas) y, para el Teorema Fundamental del Cálculo (Kouropatov y Dreyfus, 2014; Thompson y Silverman, 2008); por último, la potencialidad de las tecnologías para trabajar con representaciones interactivas y dinámicas de este concepto (Camacho y Depool, 2003). La fundamentación teórica de este trabajo contempla tres aspectos: el mecanismo para la construcción conceptual denominado reflexión sobre la relación actividad-efecto (Simon, Tzur, Heinz y Kinzel, 2004) basado en la abstracción reflexiva de Piaget, a partir del cual se describen dos fases en la construcción de un concepto: participación (con tres momentos proyección, reflexión y anticipación local) y anticipación (Roig, 2008; Tzur y Simon, 2004) y las trayectorias hipotéticas de aprendizaje (Simon y Tzur, 2004); los experimentos de enseñanza constructivista (Steffe y Thompson, 2000); y, por último, la teoría de Duval (1993) sobre los registros semióticos. Los participantes en esta investigación fueron 15 estudiantes de 2º de Bachillerato (17-18 años) que trabajaron por parejas o tríos. La secuencia didáctica del experimento de enseñanza plantea el estudio de la integral definida a partir del cálculo del área de una superficie bajo una curva y las tareas fueron diseñadas atendiendo a una trayectoria hipotética de aprendizaje, considerando las fases de participación y anticipación apoyadas en la abstracción reflexiva. Los datos de la investigación son el registro de las acciones que efectuaron los alumnos con applets diseñados ad hoc para resolver las tareas propuestas, las declaraciones orales mientras realizaban las tareas y las hojas de respuesta. El análisis de datos se realizó en tres fases: transcripción de las interacciones verbales y de las acciones de los estudiantes; identificación de las acciones realizadas (experimentar, relacionar, inferir, coordinar y extender) que se contemplan en la trayectoria hipotética de aprendizaje en términos del mecanismo reflexión sobre la relación actividad-efecto y, por último, la descripción de la trayectoria de aprendizaje de los estudiantes. Estos datos permitieron identificar tres perfiles de estudiantes en el proceso construcción del concepto de integral definida que se caracterizan por estar en distintos momentos de la fase de participación y por las acciones en que se apoya su trayectoria de aprendizaje. Se han descrito focalizando la atención en la construcción de la aproximación al área bajo una curva, en el significado de la expresión de las sumas de Darboux y en la construcción del concepto de función integral. Asimismo se han identificado los saltos cognitivos para pasar de un momento a otro de la fase de participación. El perfil A se encuentra en el momento de proyección y se caracteriza por llegar a explicitar unidades de experiencia necesarias para la construcción del concepto de integral definida, pero no suficientes; se identifican acciones de experimentar y de relacionar. El perfil B se encuentra en el momento de reflexión y se caracteriza por explicitar unidades de experiencia y por abstraer regularidades de las mismas; se identifican acciones de experimentar, relacionar, inferir y coordinar. El perfil C se encuentra en el momento de anticipación local y se caracteriza por aplicar las regularidades observadas a nuevas situaciones apoyándose en los significados construidos; se identifican acciones de experimentar, relacionar, inferir, coordinar y extender. Los resultados también muestran que la forma de presentar las tareas en el experimento de enseñanza, utilizando applets diseñados ad hoc, invitando a la experimentación y a la reflexión sobre los resultados de la misma, visualizando simultáneamente representaciones geométricas y analíticas e interaccionando verbalmente entre pares ha facilitado la comprensión conceptual.